Дискретно-непрерывная математика (стр. 111 )

где — двойничная форма от степени Поэтому на основании равенства (5.10) соответствующий минор v-гo порядка, порождаемый матрицей имеет вид

где

(5.11)

и —двойничная форма от степени

Следовательно, выражение

(5.12)

входит в разложение наибольшего общего делителя порождаемых упомянутой выше матрицей кубических миноров v-гo порядка с той же сигнатурой, как и раньше.

Проводя эти рассуждения в обратном порядке, убеждаемся, что выраже­ние (5.12) является наивысшей степенью линейного множителя входящей в разложение Таким образом, согласно замечанию 5.5 элементарные делители по каким-либо двум индексам пары матриц (5.4) отличаются от элементарных делителей такого же тина пары матриц А, В только тем, что линейные множители заменены линейными множителями причем имеют место соотношения (5.11). Следовательно, выражения (5.7) при условиях (5.8) действительно являются элементарными делителями рассматриваемого типа пары матриц (5.4). Из доказанной теоремы в предположении, что

вытекают такие следствия:

Следствие 1. Если регулярная пара кубических матриц п-го поряд­ка А, В имеет. элементарные делители по каким-либо двум индексам

то регулярная пара матриц где р, q — отличные от нуля постоянные, имеет такого же типа элементарные делители

Следствие II. Пары матриц А, В и А', В', упоминаемые в тео­реме 5.5 и следствии 1, обладают одной и той же характеристикой (того или иного типа), притом также и тогда, когда в нее введены круглые скобки или черточки.( Но не маленькие нули, так как равенство нулю одного из коэффициентов аh, bh в выражении (5.6) еще но обеспечивает обращения в нуль одного из коэффициентов а'h, b′h в выражении (5.7).)

Замечание 5.6. Если пучок матриц — регулярный, то на основании следствия II для каждой пары матриц (5.4) этого пучка, удовле­творяющей условию (5.5), существует одна и та же характеристика по каким-либо двум индексам, притом также и тогда, когда в нее введены круглые скобки или черточки. Поэтому об этой характеристике будем говорить как о характеристике регулярного пучка матриц рассматриваемого как бесчисленное множество кубических матриц, которые получим, давая частные значения параметрам Характеристика (того или иного типа)

этого пучка, очевидно, остается неизменной при постоянных, т. е. не зави­сящих от параметров λ, μ элементарных преобразованиях его.

Согласно общему определению эквивалентности полиномиальных кубиче­ских матриц (гл. II, § 5), пучки кубических матриц называются эквивалентными в поле комплексных (или вещественных) чисел, если от одного из них можно перейти к другому при помощи конечного числа элементарных преобразований в этом поле. Для эквивалентности пар матриц А, В и А1, B1, являющихся базисами этих пучков, необходимо, чтобы эти преобразования не зависели от параметров λ, μ, т. е. были постоянными. В этом случае пучки

будем называть строго эквивалентными.

Из предыдущих теором вытекает очевидная

Теорема 5.6. Если пары кубических матриц А, В и А1, В1 эквива­лентны в поле комплексных (или вещественных) чисел, то ранги (двумерные и трехмерные) ассоциированных с ними пучков и строго эквивалентных в этом случае, их инвариантные множители, элементарные делители и характеристики (по одной и той же паре индексов) — одни и те же.

4. Отметил частные случаи, когда пучок является симметрической полиномиальной кубической матрицей 2-го или 3-го порядка.

Если

то квадратный детерминант

составленный из кубических миноров 2-го порядка порождаемых пучком будем называть дискриминантом пучка кубических двойничных форм ассоциированного с

В развернутом его выражении

(5.13) коэффициенты есть соответственно дискриминанты форм j и φ, а

Легко убедиться, что имеет место

Теорема 5.7. Дискриминант а также коэффициенты в развернутом его выражении (5.13) являются относитель­ными инвариантами веса 6, тогда как линейные делители дискриминанта считающиеся одинаковыми в случае их пропорциональности, являются абсолютными алгебраическими инвариантами и кратности их — арифмети­ческими инвариантами по отношению к симметрическим, элементарным преобразованиям пучка

Замечание 5.7. Из теоремы (5.7) следует, что у коэффициентов полинома (5.13) при симметрических элементарных преобразо­ваниях пучка сохраняется равенство нулю или отличие от него, а также знаки в случае вещественных преобразовании вещественного пучка.

Замечание 5.8. Число линейных делителей полинома а также их кратности, очевидно, не меняются при замене базиса А, В регулярного пучка каким-либо другим базисом (5.4) при условии (5.5).

В случае, если

составим для присоединенную матрицу Далее, из кубических миноров 3-го порядка, порождаемых матрицей образуем симметрическую полиномиальную кубическую матрицу 3-го порядка

а из элементов матриц — смешанно-присоединенную матрицу для

Теперь из элементов матриц можно составить относительные инварианты Аронгольда веса 4 и веса 6, затем относительный инвариант веса 12 и абсолютный инвариант