Дискретно-непрерывная математика (стр. 140 )

которая после операций

принимает канонический вид (рис. 25).

Рис. 25.

Характеристика матриц (ІІІ) и (IV) есть [1].

Вариант 3: матрица (1.2) не имеет элементарных делителей. Обозначим через делители дискриминанта представляемого выражением (1.5), а через сумму сочетаний из по

Тогда имеем:

Отсюда находим:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

где

Полагая

(1.13)

получим из уравнений (1.9) —(1.12)

(1.14)

Пусть τ0 — один из корней уравнения (1.14). Тогда из (1.11) и (1.13) находим две системы значений для с, d:

(1.15)

и

(1.15')

где

. (1.16)

( Здесь, как и в формулах (1.8), мы ограничиваемся одним каким-либо значе­нием каждого из кубических корней.)

Соответственно с этим из (1.9) и (1.12) получаем две системы значе­ний для а, b:

(1.17)

и

(1.17')

где

(1.18)

Две матрицы, соответствующие двум системам значений для а, b, с, d, представляемым формулами переводятся друг в друга операцией

Канонической матрицей можем считать любую из них, например матрицу (рис. 26), где определяются формулами (1.18), (1.16), причем в этих формулах обозначает тот корень уравне­ния (1.14), которому соответствует двойное отношение четырех точек прямой, задавае­мых якобианом форм — базиса пре­образованного пучка, ассоциированного с матрицей (V), — равное двойному отношению четырех точек прямой, задаваемых якобиа­ном форм —базиса исходного пучка (1.1). Характеристика матрицы (V) есть [0].

Рис. 26.

Канонические матрицы (I) — (V) имеют место в поле комплексных чисел, а также в поле вещественных чисел, если дискрими­нант ∆ формы f — отрицательный. Если же этот дискриминант — положи­тельный, то пучок матриц подвергаем вещественным симметриче­ским элементарным преобразованиям, приводящим матрицу А формы f к каноническому виду (I') (гл. IV, § 3). В результате получим полиноми­альную матрицу вида

(1.19)

Так как порождаемые матрицей (1.19) кубические миноры 2-го по­рядка имеют вид

(1.20)

то число ее элементарных делителей может быть равным 2,1 или 0. Если матрица (1.19) имеет два элементарных делителя, то

(1.21)

Тогда, еслиимеем, полагая

каноническую матрицу (рис. 27) с двумя мнимыми сопряженными элемен­тарными делителями

где и и— вещественные числа.

Рис. 27.

Таким образом, характеристика матрицы (I') есть .

Если же в матрице (1.19) а = 0, то на основании первого из равенств (1.21) будет d = 0 и для существования двух элементарных делителей необходимо, чтобы

Полагая получаем каноническую матрицу (рис. 28), имеющую два одинаковых элементарных делителя и характеристику [(11)].

Рис. 28.

Далее, если матрица (1.19) имеет только один элементарный делитель вида то последний будет единственным общим делителем детерминантов (1.20). Следовательно,

(1.22)

Кроме того, λ — тμ будет делителем соответствующего матрице (1.19) дискриминанта

(1.23)

причем кратность этого делителя не меньше двух.

Если будет трехкратным делителем дискриминанта (1.23), простой делитель которого есть

(1.24)

Из первых двух равенств (1.22) и из равенств (1.24) находим:

(1.25)

а тогда последнее из равенств (1.22) дает:

(1.26)

Если то из равенства (1.25) следует, что и первые из равенств (1.22), (1.24) дают:

Имеем тогда каноническую матрицу (рис. 29).

Рис. 29.

Если же то из равенства (1.26) вытекает

Отсюда, принимая во внимание первое из равенств (1.24), получаем:

а затем, пользуясь равенством (1.25), находим с помощью первого из равенств (1.22)

.

( Мы ограничиваемся положительным значением квадратных корней, так как операция

над матрицей (1.19) приводит только к перемене знака у элементов а и d, не изменяя остальных элементов матрицы.)

Подвергая в этом случае матрицу (1.19) операциям

снова получаем каноническую матрицу (ІV′).

В случае, если λ — тμ будет двукратным делителем дискриминанта (1.23), остальные делители которого различны между собой, мы приходим к канонической матрице (рис. 30), где выражаются через (упражнение 1).

Рис. 30.

Характеристика матриц (ІІІ') и {IV) есть [1].

Наконец, если у матрицы (1.19) нет элементарных делителей, т. е. характеристика ее — [0], то каноническая матрица имеет вид (рис. 31), где могут быть выражены через если — делители дискриминанта (1.23) (упражнение 2).