Дискретно-непрерывная математика (стр. 105 )

(4.5)

Формулы (4.5) и подтверждают теорему.

Нетрудно также убедиться, что выражения

равны между собой и представляются двойничной трилинейной формой

(4.6)

ассоциированной с матрицей (3.3).

Теорема 4.3. Форма Q есть относительный ковариант двойничной трилинейной формы F веса 1 для каждого ряда переменных этой формы.

Действительно, операция (а) над матрицей А формы F вызывает в матрице В формы Q операции

в результате которых Q умножается на t, т. е. на детерминант линейного преобразования, соответствующего операции (а).

Операция (б) над А, сопровождающаяся такой же операцией над В, не вызывает изменений формы Q.

Далее, таким же образом, как и при доказательстве предыдущих тео­рем, убеждаемся, что трилинейная форма Q', составленная для формы F', в которую переводится F невырожденными линейными преобразованиями (4.3'), (4.3"), (4.3'") с детерминантами будет иметь вид

(4.7)

A это и требовалось доказать.

Замечание 4.2. Двойничная трилинейная форма F, ее дискриминант ∆ и коварианты составляют, как показала Шварц, полную (то есть такую систему целых рациональных комитантов, с помощью которой каждый комитант формы может быть представлен целым рациональным выражением, тогда как ни один из комитантов системы не является целой рациональной функцией стальных) систему комитантов формы F, связанных соотношением (сизи­гией)

(4.8)

2. Возьмем, далее, двойничную кубическую форму

симметрической кубической матрицей 2-го порядка Квадратичная форма

(4.1')

ассоциированная с матрицей составленной из кубических миноров, порождаемых матрицей А (замечание 3.3), равна удвоен­ному гессиану формы f, т. е.

Дискриминантформы Н, равный детерминанту

называют дискриминантом формы f.

Теорема 4.4. Дискриминант ∆ двойничной кубической формы f есть ее относительный инвариант веса 6.

В самом деле, подвергая форму f невырожденному линейному преобра­зованию

(4.9)

с матрицей мы получим двойничную кубическую форму

Дискриминант ∆ кубической формы f одинаков с дискриминантом по­лярной ей трилинейной формы

а дискриминантпреобразованной кубической формы f' одинаков с дискриминантом по­лярной ей трилинейной формы

в которую переходит F с помощью невырожденных линейных преобразований

(4.9')

Матрицы этих преобразований одинаковы. Обозначая их детерминант через имеем на основании формулы (4.4)

(4.4')

Следовательно, дискриминант формы f есть ее относительный инвариант веса 6.

Замечание 4.3. Из формулы (4.4') следует, что в поле веществен­ных чисел знак дискриминанта ∆ формы f не меняется при вещественных невырожденных линейных преобразованиях ее.

Теорема 4.5. Квадратичная форма Н есть относительный ковариант двойничной кубической формы f, вес которого равен 2.

Действительно, квадратичные формы составленные для трилинейной формы F, полярной кубической форме f, и квадратичные формы составленные для трилинейной формы F', в которую пере­водится F невырожденными линейными преобразованиями (4.9'), связаны, согласно формулам (4.5), соотношениями

Но одинаковы с квадратичной формой Н, составленной для формы f, а одинаковы с квадратичной формой составленной для формы f', в которую переводится f невырожденным линейным преобразованием (4.9). Следовательно,

(4.10)

А это и требовалось доказать.

Якобиан двойничной кубической формы f и квадратичной формы Н, равный

является, как нетрудно убедиться, двойничной кубической формой

ассоциированной с симметрической кубической матрицей 2-го порядка которая представляет частный вид матрицы (3.3), составленной для симметрической матрицы А (замечание 3.6).

Элементы матрицы B — квадратные детерминанты 2-го порядка

т. е.

Принимая во внимание, что трилинейные формы, полярные якобиану Q форм f/, Н и якобиану Q' форм связаны соотношениями (4.7), где имеем

(4.7')

Тем самым доказана

Теорема 4.6. Якобиан Q двойничной кубической формы f и квадра­тичной формы Н есть относительный ковариант формы f, вес которого равен 3.

Замечание 4.4. Двойничная кубическая форма f, ее дискриминант ∆ и коварианты Н, Q составляют полную систему комитантов формы f, свя­занных соотношением

(4.8')

называемым сизигией Кэли.

3. Обратимся теперь к тройничной кубической форме

ссимметрической кубической матрицей 3-го порядка

В присоединенной для нее симметрической квадратной матрице 9-го по­рядка С переставим 2-ю и 4-ю, 3-ю и 7-ю, 6-ю и 8-ю строки, а также соответствующие этим строкам столбцы. Получим симметрическую матрицу 9-го порядка С, которую напишем в виде симметрической клеточной матрицы

(4.11)

где клетки являются также симметрическими матрицами

(4.12)

Образуем произведения соответственных клеток матриц С и С′, пред­ставленных в виде (3.8) и (4.11), и рассмотрим следы, т. е. суммы диаго­нальных элементов матриц, выражающих эти произведения. Вводя для следа произведения клеток обозначение

находим, принимая во внимание равенства (3.9) и (4.12),

или

(4.13)

где индексыимеют любые из значений 1, 2, 3. При этом, очевидно,