Дискретно-непрерывная математика (стр. 28 )

Доказательство. Пользуясь спектральной теоремой, предста­вим А в виде а затем возьмем в качестве vi умно­женный на i-й столбец матрицы U.

Основной результат данного параграфа часто называют тео­ремой о произведении Шура.

21.5.3. Теорема. Если —положительно полуопре­деленные матрицы, то матрица также положительно полу-определена. Если А и В положительно определены, то положи­тельно определена и матрица

Доказательство. Опираясь на теорему 217.5.2, представим А и В в виде

здесь Заметим, что

где Таким образом, будучи суммой положительно

полуопределенных матриц (ранга 1), матрица сама будет

положительно полуопределенной.

Если А и В положительно определены, тои системы суть ортогональные базисы пространства Сn.

Из предположения о вырожденности матрицы следовало бы, что существует ненулевой вектор х, для которого Тогда

Каждое слагаемое суммы должно обращаться в нуль; поэтому

для всех i и j. Это означает, что для каждого i вектор ортогонален ко всем векторам следовательно,

Но отсюда вытекает, что для

всех Таким образом, х ортогонален ко всем векторам базиса, а потому х=0. Это противоречие доказывает, что матрицаневырожденна.

Упражнение. Пусть А, В — положительно полуопределениые матрицы из Мп. Используя прием из теоремы 21.5.3, обосновать неравенство В частности, показать, что в случае матрица должна быть вырожденной.

Упражнение. Показать, что утверждения предыдущего упраж­нения верны и тогда, когда матрицы А и В эрмитовы, но не обя­зательно положительно полуопределены.

Упражнение. Рассматривая матрицы

убедиться, что ранг матрицы А ° В может быть равен нулю, хотя обе матрицы А, В имеют положительный ранг.

Упражнение. Показать, что если А положительно опреде­лена, а В отрицательно определена, то отрицательно опре­делена.

21.5.4. Следствие (теорема Фейера). Пусть

Для положительной полуопределенности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы

каковабы ни была положительно полуопределенная матрица

Доказательство. Пусть матрицы А и В положительно полу­определены. Возьмем в качестве х вектор из все компоненты которого равны 1. Выписанная в формулировке теоремы сумма есть для этого специального выбора вектора х. Так как матрица положительно полуопределена, то сумма неотрицательна. Пусть, обратно, для любой положительно полуопределенной матрицы В. Каждому вектору хСn сопоставим матрицу Поскольку В положительно полуопределена, то

Вследствие произвольности вектораделаем вывод о положительной полуопределенности матрицы A.

21.5.5. Приложение. Пусть —открытое ограниченное множество. Линейный дифференциальный оператор L второго порядка, задаваемый на формулой

(21.5.6)

называется эллиптическим, в D, если матрица

положительно определена для всех Предположим, что

существует функция непрерывная на замыкании D

и удовлетворяющая в D уравнению Что можно сказать о локальных максимумах или минимумах функции и, достигае­мых в точках области D? Пусть есть точка локального минимума функции и. Тогда

для и гессиан

положительно определен в точке у. Следовательно, в этой точке

и по теореме Фейера 21.5.4 сумма членов со вторыми производ­ными должна быть неотрицательна. Поэтому слагаемое с(у)и(у) обязано быть неположительно. В частности, если с(у)<0, то неравенство и(у)<0 невозможно. Аналогичное рассуждение по­казывает, что при с(у)<0 значение и (у) во внутренней точке локального максимума не может быть положительным. Эти про­стые замечания составляют суть следующего важного принципа.

21.5.7. Слабый принцип минимума. Пусть оператор L, зада­ваемый формулой (21.5.6), эллиптичен в области D, и пусть с(x)<0 в D. Если функция удовлетворяет в D урав­нению Lu ≡ 0, то и не может иметь ни отрицательного внутрен­него локального минимума, ни положительного внутреннего ло­кального максимума. Если, вдобавок, функция и непрерывна на замыкании области D и неотрицательна на ее границе, то и должна быть неотрицательной всюду в D.

Из принципа минимума вытекает одна из фундаментальных теорем единственности для уравнений с частными производ­ными:

21.5.8. Теорема единственности (Фейер). Предположим, что оператор L, задаваемый формулой (21.5.6), эллиптический, и пусть в области D. Рассмотрим следующую краевую задачу:

Lu = f в D, где f — заданная функция;

и = g на ∂D, где g— заданная функция;

и дважды непрерывно дифференцируема в D;

и непрерывна на замыкании области D.

Тогда имеется не более одного решения этой задачи.

Доказательство. Если и1 и и2 — два решения данной задачи, то функция есть решение задачи того же типа, но с нулевыми краевыми условиями, и в D. Согласно слабому принципу минимума, v должна быть неотрицательна в D. Применяя аналогичное рассуждение к функции —v, установим, что v в то же время должна быть неположительной в D. Сле­довательно, в D. Упражнение. Продемонстрировать применение слабого прин­ципа минимума и теоремы единственности 21.5.8 на примере уравнения с частными производными где λ — положительный параметр,