Дискретно-непрерывная математика (стр. 97 )

3. Показать, что невырожденным линейным преобразованиям

p-линойной формы

сопровождающимся умножением по индексам p-мерной матрицы А формы F на невырожденные квадратные матрицы линейных преобразований (упражнение 5 § 3), соответствует так­же конечная последовательность элементарных преобразований по тем же индексам матрицы А. Дать определение эквивалентности и g-эквивалентности двух p-линейных форм и их матриц над полем Р.

4. Показать, что невырожденному линейному преобразованию формы р-й степени

с симметрической p-мерной матрицей А, сопровождающемуся умножением по индексам матрицы А на невырожденную квадратную матрицу а линейного пре­образования (упражнение 7 § 3), соответствует также конечная последовательность сим­метрических элементарных преобразований матрицы А, Дать определение эквивалент­ности двух таких форм и матриц над полом Р.

5. В какую эквивалентную матрицу переводится элементарными преобразованиями

кубическая λ-матрица

симметрическая относительно индексов i, j? Указать другую матричную операцию, равносильную упомянутым выше элементарным преобразованиям.

6. В какую эквивалентную матрицу переводится симметрическими элементарными преобразованиями

симметрическая кубическая λ-матрица

Полученный результат проверить, умножая надлежащим образом на квадратную λ - матрицу, соответствующую указанным выше элементарпым преобразованиям.

Упражнения к п.25.5.

1. р-мерная матрица п-го порядка называется клеточно-диагональ - ной, если ее можно разбить на клетки так, чтобы диагональные клетки, не все равные 0, были р-мерными матрицами порядков а все не­диагональные клетки состояли целиком из нулей. Показать, что основные операции над клеточно-диагоналытми пространственными матрицами приводятся к соответственным операциям над их диагональными клетками.

2. Показать, что любой из детерминантов клеточно-диагональной пространственной матрицы равен произведению косигнатурных детерминантов ее диагональных клеток.

3. Дан р-мерный детерминант п-го порядка Показать, что присоединенный детерминант для может быть получен из (п—1)-го составного детерминанта для путем обращения порядка сечений (простых) каждой ориентации и умножения на — 1 каждого четного сечения каждой альтернативной ориентации (Райс).

4. Даны р-мерный и q-мерный детерминанты n-го порядка род которых отличен от нуля. Доказать, что v-й составной детерминант (присоединен­ный детерминант) для произведения детерминантов составленного по правилу Кэли — Райса, поэлементно равен составленному таким же образом произведению v-x со­ставных детерминантов (присоединенных детерминантов) для ( Райс).

5. Даны p-мерный и q-мерный детерминанты n-го порядка с любыми сигнатурами. Доказать, что v-й составной детерминант (присоединенный детерминант) для произведения детерминантов составленного по правилу Скотта — Райса, равен составленному таким же образом произведению v-x составных детерминантов (присоединенных детерминантов) для( Райс).

6. Показать, что v-й составной детерминант для произведения |Т| двух обычных детерминантов п-го порядка составленного по правилу Падуа (упражнение 17а § 2), равен( Райс).

7. Показать, что всякий минор v-гo порядка присоединенного детер­минанта для произведения двух обычных детерминантов п-го порядка составленного по правилу Падуа, равен алгебраическому дополнению соответствующего, минора детерминанта умноженному на(Райc).

8. Пусть дан какой-либо многомерный детерминант п-го порядка Замещая в v-м составном детерминанте для каждый элемент, являю­щийся мипором v-гo порядка детерминанта его алгебраическим дополнением в мы получим конформный -й составной детерминант для Пока­зать, что он равен -му составному детерминанту для (Райс ).

Модуль 26

Инварианты пространственных матриц и их классификация

26.1. Двумерные ранги

1. Будем рассматривать пространственную матрицу А порядка п над некоторым числовым полем Р. Начнем с простейшего случая, когда А — кубическая матрица Фиксируя в ней значения всех индексов, кроме одного из них, например индекса і, пробегающего значения 1, 2, . . ., п, мы получим строку направления (і). Из п2 строк этого направления составим двумерную матрицуимеющую п строк и п2 столбцов, причем как строки, так и столбцы располагаются в нор­мальном порядке. Например, при п = 2 будем иметь:

Ранг rі двумерной матрицы называется двумерным рангом по индексу i матрицы А.

Аналогично определяются двумерные ранги rj (по индексу j) и rk (по индексу k) матрицы А.

Теорема 1.1. Двумерные ранги кубической матрицы А являются арифметическими инвариантами относительно ее элементарных преобразований. Действительно, операция

над матрицей А вызывает в двумерной матрице при умножение на t l-й строки, а при или — умножение на t соответственно -х или -х столбцов (λ пробегает значения 0, 1, . . ., п— 1). Операция