Дискретно-непрерывная математика (стр. 23 )

7. Пусть матрица имеет сингулярное разложение Положим матрица получена из Σ

транспонированием и заменой положительных диагональных элементов обратными величинами. Показать, что

Показать, что в случае квадратной невырожденной матрицы А. Матрица А+ называется псевдообратной или обоб­щенной обратной матрицей Мура — Пенроуза для матрицы А. Она существует для любой матрицы А, в том числе для квад­ратной вырожденной или даже прямоугольной матрицы. Пока­зать далее, что матрица А+ однозначно определена требова­ниями (а) — (с). Указание. Выписать сингулярное разложение матрицы А+ и показать, что его сомножители по существу единственным образом определяются требованиями (а) — (с). Другой, менее вычислительный способ доказательства: предпо­ложить, что каждая из матриц В, С удовлетворяет условиям (а) — (с), и показать, что

8. Нормальным псевдорешением системы линейных уравне­ний Ах=b называется вектор x, имеющий наименьшую евкли­дову длину среди всех векторов, приносящих минимум величине Показать, что вектор х = А+b является нормальным псевдорешением системы Ах =b.

9. Показать, что Матрица А+ опре­делена в задаче 7.

10. К сингулярному разложению из теоремы 21.3.5 можно прийти, не используя явным образом собственные значения и собственные векторы. Сингулярные числа и (левые и правые) сингулярные векторы могут быть получены непосредственно из вариационной характеризации спектральной нормы. Рассмотрим матрицу вариационная характеризация ее спектраль­ной нормы имеет вид

(**)

(a) Пусть и пустьимеет специальную форму

где и Показать, что Указание. Если рассмотреть вектор Показать, что и воспользоваться соотношением (**).

(b) Пусть Положить и с помощью (**) показать, что существует нормированный вектор x1, такой, что Положим

(c) Пусть W1, V1 — унитарные матрицы с первым столбцом соответственно x1 и у1. Показать, что матрица имеет спектральную нормуи форму матрицы, описанной в п. (а). Сделать отсюда вывод, что

(d) Сформулировать индуктивную процедуру понижения по­рядка матрицы A, в которой внедиагональные элементы очеред­ных строки и столбца аннулируются посредством левого и пра­вого умножения на унитарные матрицы. Получить этим путем сингулярное разложение матрицы А.

(e) А что, если матрица не будет квадратной?

11. Пусть — сингулярное разложение матрицы Предположим, что rank A = k, и пусть

Показать, что последние п — k столбцов матрицы W образуют ортонормированный базис ядра матрицы A, а первые k столб­цов матрицы V—ортонормированный базис ее образа (области значений).

12. Пусть и пусть — сингулярное разложение блочной матрицы Показать, что

ортонормированный базис пересечения ядер матриц А и В дает­ся несколькими последними столбцами (сколькими именно?) матрицы W. (Указание. Когда для векторасправедливо равенство Как найти ортонормированный базис пересечения ядер k матриц имеющих одинаковое число столбцов?

13. Показать, что полярное разложение из теоремы 21.3.2 и сингулярное разложение из теоремы 21.3.5 эквивалентны в том смысле, что каждое из них легко получить из другого. Указа­ние. Применить к Р спектральную теорему.

14. Показать, что для диагонализуемости матрицы АМп необходимо и достаточно, чтобы существовала положительно определенная эрмитова матрица Р, такая, что Р-1АР — нор­мальная матрица. Указание. Если то использовать полярное разложение матрицы S.

15. Используя сингулярное разложение (21.3.5) (особенно утверждения, касающиеся единственности разложения) и след­ствие 21.3.6, вывести представление Такаги (18.4.4) для комплекс­ной симметричной матрицы. Указание. Если матрица имеет различные сингулярные числа и то Но тогда существует диагональная унитарная матрица такая, что откуда В общем слу­чае использовать следствие 21.3.6, принцип выбора 16.1.8 и опера­цию предельного перехода.

16. Пусть и упорядоченные син­гулярные числа матрицы А обозначим через

аналогичные обозначения применяются для В и A+В. Пусть, — эрмитовы матрицы, определенные в соответствии с (21.3.7а). Показать, что аналогичные утверждения спра­ведливы для В и А+В. Помните: сингулярные числа упорядо­чены по убыванию, а собственные значения эрмитовой матрицы — по возрастанию. Использовать это тождество и теорему Вейля 18.3.7 для доказательства неравенств

В частности, (почему этот результат

неявляется неожиданным?) и