Дискретно-непрерывная математика (стр. 150 )

Все линии пучка имеют девять точек пересечения, являющихся точками перегиба и расположенных по три на каждой из сторон сизигетических треугольников (в веще­ственной области — из девяти точек перегиба три — вещественные, а шесть—мнимые, попарно сопряженные; на каждой стороне вещественного сизигетического треугольника лежит по одной вещественной и по паре мнимых сопряженных точек, тогда как у дру­гого сизигетического треугольника на вещественной стороне лежит тройка веществепных точек, а на мнимых сторонах — сопряженные тройки мнимых точек). Доказать.

5. Показать, что в вещественной области каждая из линий, представляемых пуч­ком (I) (упражнение 3), с положительным абсолютным инвариантом является гессианом трех различных линий того же пучка, обладающих отрицательными абсолютными инвариантами, тогда как каждая из линий пучка (I) с отрицательным абсолютным инвариантом является гессианом только одной линии этого пучка, обладающей поло­жительным абсолютным инвариантом.

6. Если форма f сизигетического пучка — особенная неприводимая с абсо­лютным инвариантом то пучок приводится к каноническому виду

(II)

с характеристикой [2] в комплексной области, а также и в вещественной, если

если же

то пучок цриводится к каноническому виду

(II')

с той же характеристикой. Доказать.

7. Пучок (II) (упражнение 6) представляет нераспадающиеся линии 3-го порядка с двойной точкой, у которых касательные в этой точке различны (в вещественной области линии с узловой точкой), сизигетический треугольник и тройку прямых, пере­секающихся в одной точке (в вещественной области этот треугольник —вещественный, а из тройки пересекающихся в одной точке прямых одна — вещественная и две — мни­мые сопряженные). Все линии пучка имеют четыре общие точки; одна из них — двойная точка нераспадающихся линий пучка (вещественная в вещественной области), в которой пересекаются прямые упомянутой выше тройки, остальные же три точки являются точками перегиба (в вещественной области одна из них вещественная, а две — мнимые сопряженные), лежащими на одной из сторон сизигетического треугольника, другие две стороны которого касаются нераспадающихся линий пучка в их двойной точке. Доказать.

8. Пучок (ІІ′) (упражнение 6) представляет вещественные линии 3-го порядка с изолированной точкой, сизигетический треугольник, у которого одна сторона — веще­ственная, а две — мнимые сопряженные, и тройку вещественных прямых, пересекающих­ся в одной точке.

Все линии пучка имеют четыре общие точки. Эти точки вещественны; одна из них — изолированная, в которой пересекаются прямые упомянутой выше тройки, осталь­ные же три точки являются точками перегиба, лежащими на вещественной стороне сизигетического треугольника, мнимые стороны которого касаются нераспадающихся линий пучка в их изолированной точке. Доказать.

9. Показать, что каждой из линий, представляемых пучком (II) или (ІІ') (упражне­ние 6), кроме тройки пересекающихся в одной точке прямых, соответствует в том же пучке одна линия, являющаяся гессианом данной, и одна линия, для которой данная есть гессиан.

10. Если форма f сизигетического пучка — особенная неприводимая с абсо­лютным инвариантом то пучок в комплексной и вещественной областях приводится к каноническому виду

(III)

с характеристикой [3]. Доказать.

11. Пучок (Ш) (упражнение 10) представляет нераспадающиеся линии 3-го порядка с двойной точкой, у которых касательные в этой точке совпадают, и тройку прямых, из которых две совпадают (в вещественной области все эти линии — вещественные). Все линии пучка имеют две общие точки (вещественные в вещественной области); одна из них — двойная точка нераспадающихся линий пучка, другая — точка перегиба. Они лежат на простой прямой упомянутой выше тройки, двойная прямая которой касается нераспадающихся линий пучка в их двойной точке. Эта тройка прямых есть гессиан остальных линий пучка. Доказать.

12. Если форма f сизигетического пучка — особенная, разлагающаяся в про­изведение линейной и неприводимой квадратичной форм с абсолютным инвариантом I=0, то пучок приводится к каноническому виду

(IV)

с характеристикой [(11)] в комплексной области, а также и в вещественной, если

если же

то пучок приводится к каноническому виду

(IV′)

с той же характеристикой. Доказать.

13. Пучок (IV) (упражнение 12) представляет совокупности конического сечения и пересекающей его прямой, сизигетический треугольник и тройку прямых, совпадающих с одной из сторон этого треугольника (в вещественной области все эти линии вещест­венны). Последняя является общей прямой для всех линий пучка, пересекающей все конические сечения пучка в двух точках (вещественных в вещественной области), где конические сечения касаются друг друга; две другие стороны сизигетического треуголь­ника являются касательными к коническим сечениям пучка в точках их взаимного касания. Доказать.

14. Пучок (IV′) (упражнение 12) представляет совокупности конического сечения (как вещественного, так и миимого) и вещественной прямой, пересекающей его в двух мнимых сопряженных точках, сизигетический треугольник, одна сторона которого — вещественная, а две — мнимые сопряженные, и тройку прямых, совпадающих с веще­ственной стороной этого треугольника. Последняя является общей прямой для всех линий пучка, пересекающей конические сечения пучка в двух мнимых сопряженных точках, где эти сечения касаются друг друга; мнимые стороны сизигетического тре­угольника являются касательными к коническим сечениям пучка в точках их взаим­ного касания. Доказать.

15. Показать, что каждой из линий, представляемых пучком (IV) или (IV′) (упражнение 12), кроме тройки совпадающих прямых, соответствует в том же пучке одна линия, являющаяся гессианом данной, и одна линия, для которой данная есть гессиан.

16. Если форма f сизигетического пучка — особепная, разлагающаяся в про­изведение линейной и неприводимой квадратичной форм с абсолютным инвариантом то пучок в комплексной и вещественной области приводится к каноническому виду

(V)

с характеристикой [(21)]. Доказать.

17. Пучок (V) (упражнение 16) представляет совокупности конического сочения и прямой, общей всем линиям пучка и касающейся конических сечений в точке их гиперсоприкасания, а также тройку прямых, совпадающих с общей прямой пучка (в вещественной области все эти линии — вещественные). Тройка совпадающих прямых есть гессиан остальных линий пучка. Доказать.

18. Если форма f сизигетического пучка — особенная, разлагающаяся в произведение трех линейно независимых линейных форм (с абсолютным инвариантом I = 0), то пучок приводится к каноническому виду

(VI)

с характеристикой в комплексной области, а также и в вещественной, если если же

то пучок приводится к каноническому виду

(VI')

с той же характеристикой. Все линии, прздетавляемые пучком (VI), совпадают, образуя сизигетический треугольник (вещественный в вещественной области), так же как сов­падают и все линии пучка (VI'), образуя сизигетичоский треугольник, одна сторона которого — вещественная, а две — мнимые сопряженные. Доказать.

19. Объединяя в одну категорию сизигетические пучки кубических тройничных форм с одной и той же характеристикой, показать, что в комплексной и вещественной областях существует всего шесть категорий этих пучков, соответственно шести харак­теристикам

29.3.Применение многомерных мат­риц для исследования гиперкомплексных чисел и конечномерных алгебр

Теория многомерных (в основном трёхмерных) мат­риц находила применение главным образом для класси­фикации алгебраических форм, в частности, для классификация трилинейных и двойнич­ных кубических форм. Однако определяя билинейное ум­ножение, обычно задают либо определяющие соотноше­ния, например для системы кватернионов:

либо таблицу умножения базисных единиц. Но билиней­ное умножение векторов n-мерного пространства может быть задано с помощью трёхмерной матрицы аналоги­чно тому, как линейные операторы задаются обычными двумерными матрицами. Пусть фиксирован базис про­странства e1, …en. Произведение каждой пары базисных векторов eiej определено как аij1e1 +…+aijnen. Тогда сущест­вует n2 векторов и n3 структурных констант, которые удобно расположить в виде трёхмерной числовой матри­цы. С одной стороны, каждое вертикальное сечение дан­ной объёмной матрицы (при фиксированном первом или втором индексе) есть квадратная матрица линейного опе­ратора в пространстве Rn, действующего как левое или правое умножение на фиксированный базисный вектор ei. С другой стороны, всякое горизонтальное сечение (при фиксированном третьем индексе) можно рассматривать как некоторую матрицу билинейной формы.