Дискретно-непрерывная математика (стр. 63 )

которое, в свою очередь, эквивалентно неравенству

Раскрывая скобки в правой части этого неравенства и "выделяя полный квадрат", преобразуем его к виду

Вводя обозначения

(13)

запишем последнее неравенство как

(14)

Покажем, что матрица в правой части этого неравенства является положительно определенной. Действительно, неравенство S>0 эквивалентно неравенству

при достаточно большомУчитывая лемму А.5 об обращении матрицы специального вида, перепишем это неравенство в виде

С учетом леммы А.2 это неравенство, в свою очередь, эквивалентно неравенству

которое выполняется при достаточно большомв силу первого из условий (10) и леммы А.8.

Таким образом, исходное неравенство (1) эквивалентно неравенству (14). Обо­значая

запишем неравенство (3.14) как

Из (13) найдем

Наконец, так как то с учетом того, что матрицы и имеют линейно независимые столбцы и, следовательно (см. Приложение),

непосредственной подстановкой убеждаемся, что

для некоторой матрицы Z размера матрицы Θ. Таким образом, мы установили, что формула (11) задает все решения неравенства (1), и утверждение доказано.

Согласно этому утверждению для получения какого-либо решения неравенства (1) требуется выбрать параметр из условия выбрать матрицу L из условия задать матрицу Z и вычислить Θ по формуле (11). Заметим, что в дальнейшем указанная параметризация не используется, т. к. при синтезе законов управления нас будет интересовать одно из решений рассматриваемого неравенства, вычисляемое с помощью команды basiclmi в LMI Toolbox MATLAB.

23.4.3 Система неравенств

В некоторых задачах управления таких, например, как одновременная стабилизация нескольких объектов или гашение возмущений при одновременном ограничении несколь­ких функционалов, проблема синтеза сводится к проверке разрешимости системы ли­нейных матричных неравенств

(15)

в которых - заданные симметрические матрицы порядков а и - заданные матрицы порядков и соответственно. Нас будут интересовать условия разрешимости этой системы неравенств относительно неизвестной матрицы Θ порядка

Отметим, что система (15) не может быть представлена в виде одного неравенства такого типа с матрицей Θ общего вида, а значит, к этой системе не могут быть примене­ны утверждения 1 и 2. Непосредственное обобщение этих утверждений для системы (15), состоящее в том, что она разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия

является невозможным, как показывает следующий контрпример. Пусть

Очевидно, что и

Если бы обобщение утверждения 2 для данной системы неравенств было справедливо, то из последнего неравенства следовало бы, что существует параметр Θ, для которого справедливы неравенства

Однако, первое неравенство эквивалентно неравенствуа второе – неравенству и не существует Θ, удовлетворяющего обоим этим неравенствам.

Вместе с тем, выделены два частных случая, для которых некоторое обобщение утверждений 1 и 2 возможно. Первый из них относится к системе нера­венств (15), в которой и для всех т. е. к системе

(16)

и требует введения некоторой дополнительной матричной переменной мажорирую­щей все матрицы .

Утверждение 4. Пусть даны симметрические матрицы и две матрицы и причем и п. Система линейных матричных неравенств (16) разрешима относительно мат­рицытогда и только тогда, когда существует симметрическая матрица такая, что

(17)

где столбцы матрицыобразуют базис ядра матрицы Р, а столбцы матрицы образуют базис ядра матрицы Q.

Доказательство. Пусть условия (17) выполнены. Тогда согласно утверждению 2 существует такая матрица в, что

Так как то

Пусть теперь система неравенств (16) имеет решение Θ. Тогда существует что

Если определить

то из последнего неравенства следует, что для всех Кроме того, так как

то, умножая это неравенство сначала слева наи справа на а затем слева на и справа на получим (17).

Сделаем одно замечание. Если в системе (16) одна из матриц Р или Q полного ранга (например, Q), то утверждение 4 остается справедливым при замене неравенств в (17) на одно неравенство