Дискретно-непрерывная математика (стр. 43 )

где в последних двух выражениях диагональный элемент 1 пов­торяется k раз, а элемент 0 на диагонали в последнем выра­жении повторяется п — k раз. Верхняя треугольная матрица в последнем выражении имеет ранг не меньше k, и, так как для L ранг равен 1, случай k > 1 невозможен.

Теперь соберем вместе основные факты, установленные в этом разделе в отношении положительных матриц.

22.2.11. Теорема (Перрон). Если и то

(b) есть собственное значение матрицы А;

(c) для какого-то имеем х > 0 и

(d) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для А;

для всякого собственного значения

другими словами, только одно собственное значение, равное именноимеет максимальный модуль;

(f) если то где

и

Теорема Перрона имеет много приложений. Одно из них — полезное — связано с указанием области, содер­жащей собственные значения матрицы А, с использованием спектрального радиуса и диагональных элементов некоторой оценивающей сверху неотрицательной матрицы.

22.2.12. Теорема (Фань Цзы). Пусть и предположим, что матрица имеет неотрицательные элементы и Тогда любое собственное значение матрицы А

принадлежит области

Доказательство. Будем считать, что В>0. Если какие-то элементы в В равны нулю, то можно рассмотреть матрицу где При этом и

при По теореме Перрона для какого-то положительного вектора х имеем и, следовательно,

Таким образом,

и остается обратиться к следствию 20.1.6 с

Утверждение из теоремы 22.2.11 гарантирует существова­ние определенного предела, а утверждение из леммы 22.2.7 дает верхнюю оценку скорости сходимости

где С — некоторая положительная постоянная, зависящая от А и r, и при этом

где — второе по величине модуля собственное значение

матрицы А. Даже в том случае, когда известно или легко

оценивается, может оказаться неудобно или невозможно вы­числить или оценить для того чтобы получить приемле­мую оценку отношения В такой ситуации полезно иметь в виду легко вычисляемую оценку, предложенную Хопфом и справедливую для любой положительной матрицы. а именно

где и

22.3. Неотрицательные матрицы

На практике приходится встречаться и с неотрицательными матрицами, не являющимися положительными. Поэтому тео­рию, развитую в предыдущем параграфе, необходимо попытать­ся распространить на случай, когда не все элементы матрицы строго положительны. Вообще говоря, можно рассчитывать на то, что это удастся сделать с помощью подходящего предель­ного перехода. Для отдельных результатов так оно и есть, од­нако, таким величинам, как ранг или размерность, непре­рывная зависимость не свойственна, и поэтому возможности предельного перехода оказываются ограниченными. Те утверж­дения теоремы Перрона, которые сохраняют силу при переходе к пределу, содержатся в следующей теореме.

22.3.1. Теорема. Еслии то —собственное

значение для А и существует неотрицательный вектор для которого

Доказательство. Для любого определим матрицу

Обозначим через перронов вектор для так что и Так как множество

векторов содержится в компактном множестве

для некоторой монотонно убывающей по­следовательности имеем и при этом суще­ствует предел Вследствие неравенства выполняющегося для всех

ра­венство х = 0 невозможно, потому что

Согласно теореме 22.1.18, для всех получаем

т. е. последовательность ве­щественных чисел является монотонно убы­вающей. А это обеспечивает существование предела

и неравенство Теперь примем во вни-

мание, чтои

Следовательно, ρ есть собственное значение для А. Но тогда Поэтому ρ не может быть ничем иным, кроме