Дискретно-непрерывная математика (стр. 112 )

При симметрических элементарных преобразованиях полиномиальной матрицыотносительные инварианты, как в этом легко убедиться, воспроизводятся с точностью до некоторых постоянных, отличных от нуля множителей. Поэтому имеет место

Теорема 5.8. Линейные делители относительных инвариантов

считаемые одинаковыми в случае пропорциональ­ности, являются абсолютными инвариантами, а кратности их — арифмети­ческими инвариантами относительно симметрических элементарных пре­образований матрицы

При помощи инвариантовобразуем для из матриц сложную квадратную матрицу

а из матриц — сложную кубическую матрицу

(см. упражнение 6 § 4).

Как и при рассмотрении кубических матриц с постоянными элементами, нетрудно убедиться, что симметрические элементарные преобразова­ния полиномиальной матрицы вызывают такого же рода преобразо­ваниясимметрических полиномиальных матриц

Таким образом, имеет место

Теорема 5.9. Эквивалентность в поле комплексных (или веществен­ных) чисел двух симметрических полиномиальных кубических матриц 3-го порядка над этим тюлем влечет за собой такого же рода эквивалентность соответствующих присоединенных, смешанно-присоединенных и сложных (квадратных и кубических) матриц.

Замечание 5.9. Относительные инварианты пучка являются, вообще говоря, формами отсоответственно 4-й, 6-й, 12-й степени, и числа их линейных делителей, так же как и крат­ности последних, очевидно, не меняются при замене базиса А, В регуляр­ного пучка каким-либо другим базисом (5.4) при условии (5.5).

Замечание 5.10. Так как замена базиса А, В пучка каким-

либо другим базисом (5.4) при условии (5.5) не меняет состава пучка, то при такой замене остается неизменной и совокупность инвариантов, составляющих полную систему

(а в поле вещественных чисел и а также для всех значений параметров . (см. замечание 4.6).

Это замечание относительно последней совокупности инвариантов сохра­няет силу также для пучков, эквивалентных в поле комплексных (или вещественных) чисел.

Модуль 26

Индивидуальные тестовые задания

Упражнения к п.26.1

1. Фиксируя в матрице последовательно значения каждой пары индексов, составить из строк соответствующих направлений двумерные матрицы

имеющие по три строки и по девять столбцов, расположенных в нормальном порядке.

2. Фиксируя в матрице последовательно значения каждого индекса, составить из соответствующих элементов, расположенных в нормальном по­рядке, двумерные матрицы

имеющие по три столбца и по девять строк. Сравнить с результатом упражнения 1.

3. Показать, что кубический детерминант п-го порядка равен нулю, если двумерный ранг соответствующей кубической матрицы по одному какому-либо из альтерна­тивных индексов меньше, чем п. Обобщить для любого многомерного детерминанта порядка п.

4. Доказать, что двумерный ранг по любому τ-кратному индексу р-мерной матрицы не больше, чем произведение τ двумерных рангов ее по каждому из простых индексов, входящих в состав τ-кратного индекса (Райс).

5. Разбивая какие-нибудь индексов р-мерной матрицы А на какое-либо число s групп, каждая из которых состоит соответственно из индексов, и рассматривая эти τ индексов как τ-кратный индекс, a s групп индексов — как -кратные индексы, показать, что двумерный ранг по τ-кратному индексу матрицы А не больше, чем произведение ее s двумерных рангов по каждому из -кратных индексов (Ольденбургер).

6. Если двумерный ранг р-мерной матрицы по какому-нибудь τ-кратному индексу равен 1, то ее двумерные ранги по τ1-кратному и τ2-кратному ' индексам, составленным из индексов упомянутого выше τ-кратного индекса, равны между собой. Доказать (Ольденбургер).

7. Если двумерные ранги р-мериой матрицы по каждому из - кратных

индексов равны 1, то ее двумерный ранг по τ-кратному индексу, составленному из упомянутых выше s индексов, также равен 1. Доказать (Ольденбургер).

8. Даны р-линейная форма

с р мерной мат­рицей п-го порядка

и (р— 1)-липейная форма

с (р— 1)-мерной матрицей тогоже порядка п. Полагая

мы можем рассматривать матрицу В как (n+i)-e сечение ориентации (ір) расширенной р-мерной матрицы

полученной присоединением этого сечения к матрице А. Доказать, что необходимое и достаточное условие приведения формы F к форме Ф, притом единственным образом, заключается в том, чтобы двумерные ранги по индексу ip матриц А и были равны п.

9. При выполнении условия упражнения 8 неизвестцые допускаю­щие приведение р-линейной формы к (р—1)-линейной форме

определяются, притом единственным образом, из совместнои системы nр-1 линейных уравнений

(1.1)

Составим р-мерные детерминанты п-го порядка с альтернативным индексом ip матрицы А формы F

где— альтернативные индексы, отличные от ip, и где т принимает нечетные значения 1, 3, ..., р—1 или р — 2, смотря по тому, будет ли р четным или нечет­ным. Число таких детерминантов равно 2р-2. Показать, что каждое неизвестное системы (1.1) может быть представлено любой из тех 2р-2 формул

(1.2)

которые не имеют неопределенного вида — символ Кронекера; при помощи его числитель дроби, представляющей выражен в виде р-мерного детерминанта, косигнатурного с детерминантом, стоящим в знаменателе, и получающегося из него заменой всех элементов v-гo сечения ориентации (іР) соответственными элементами матрицы В формы Ф.