Дискретно-непрерывная математика (стр. 109 )

составленной из строк направления (i) матрицы

Трехмерным рангом матрицы по двум каким-нибудь из индексов например называем наивысший порядок не равных тождественно нулю кубических миноров с сигнатурой порождаемых матрицей

Матрицу будем называть регулярной, если все ее трехмерные ранги равны ее порядку ( в этом случае, как вытекает из следствия IV теоремы 2.2, и все двумерные ранги матрицы равны ее порядку), и иррегулярной — в противном случае.

Ранги полиномиальной пространственной матрицы, так же как и ранги пространственной матрицы с постоянными элементами, являются арифмети­ческими инвариантами относительно ее элементарных преобразований.

Кроме рангов, однако, существуют еще и другие величины, обладаю­щие инвариантными свойствами. Чтобы показать это, докажем следующую теорему.

Теорема 5.1. Наибольший общий делитель (со старшим коэффициентом, равным единице) порождаемых матрицей кубических миноров v-го порядка с сигнатурой где v не превышает трехмерного ранга матрицы остается неизменным при элементарных преобразованиях этой матрицы.

Действительно, преобразования типа

или

матрицы очевидно, не меняют полинома

Преобразование же типа

матрицы приводит к новой матрице, у которой все порождаемые ею кубические миноры v-ro порядка с сигнатурой содержащие элементы m-го сечения ориентации (і) исходной матрицы являются линейными однородными функциями от косигнатурных миноров v-ro порядка, порождаемых матрицей тогда как все остальные из упомянутых выше миноров остаются без изменения. Таким образом, и в этом случае полином остается неизменным.

Тем же свойством обладают наибольшие общие делители порождаемых матрицей кубических миноров v-гo порядка с сигнатурами причем соответственно

Вместо можно ввести другие инварианты, которые мы назовем инвариантными множителями матрицы Для определения их воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2.

Теорема очевидна, так как всякий многомерный детерминант порядка v с той или иной сигнатурой является линейной однородной функ­цией от косигнатурных детерминантов порядка Введем обозначения

(5.1)

полагая и будем называть полиномы со старшими коэффициентами, равными единице, инвариантными множителями по двум индексам матрицы

Аналогично определяются инвариантные множители матрицы по двум индексам или

Из этих определений и теоремы 5.2 вытекает

Теорема 5.3. Инвариантные множители по любым двум индексам матрицы являются инвариантами этой, матрицы относительно ее элементарных преобразований.

Замечание 5.1. Из равенств (5.1) и аналогичных им, составленных для индексов f и k, вытекают очевидные равенства

оправдывающие смысл термина «инвариантный множитель».

Разложим инвариантные множители по двум индексам матрицы на неприводимые в поле Р множители:

(5.2)

Здесь

— все различные между собой неприводимые в поле Р полиномы (со старшими коэффициентами, равными еди­нице), входящие в состав

Все отличные от единицы степени среди в разложении (5.2) будем называть элементарными делителями по двум индексамматрицы в поле Р.

Аналогично определяются элементарные делители по двум индексам, i, k или матрицыв поле Р.

Из этих определений и теоремы 5.3 вытекает

Теорема 5.4. Элементарные делители по любым двум индексам матрицы являются инвариантами этой матрицы относительно ее элементарных преобразований.

Замечание 5.2. Обычные инвариантные множители и элементарные делители двумерных λ-матриц составленных соответственно из строк направлений матрицы также будут инвариантами этой матрицы относительно ее элементарных преобра­зований. Все они являются делителями соответственных инвариантных мно­жителей и элементарных делителей матрицы упомянутых выше.

Замечание 5.3. Если матрица —симметрическая, то ее ранги

(двумерные или трехмерные) по различным индексам одинаковы и могут быть объединены в одно понятие ранга (двумерного или трехмерного) этой матрицы. Точно так же инвариантные множители или элементарные дели­тели по различным парам индексов, будучи соответственно одинаковыми, объединяются в одно понятие инвариантных множителей или элементар­ных делителей симметрической матрицы

2. Обратимся теперь к частному случаю, когда исе элементы λ-матрицы представляются линейными полиномами над полем комплексных (или вещестненных) чисел.

Имеем тогда пучок кубических матриц где матрицы

образуют базис пучка.

В дальнейшем, однако, мы будем рассматривать пучок более общего вида — полиномиальную кубическую матрицу п-гo порядка у которой вес элементы являются линейными формами от пере­менных параметров λ, μ над полем комплексных (или вещестиенпых) чисел.