Дискретно-непрерывная математика (стр. 91 )

Замечание 4.1 . Элементарными преобразованиями типов (а), (б) можно совершить над матрицей А операцию

заключающуюся в перестановке l-го и m-го сечений ориентации (i).

Именно, операция (в) равносильна цепочке элементарных преобразований по индексу і:

Аналогично определяются элементарные преобразования по индексу j или k матрицы А.

Будем называть элементарными следующие невырожденные квадрат­ные матрицы любого порядка п :

1) диагональную матрицу а', у которой все диагональные элементы равны 1, кроме одного элемента, равного произвольному числу t, отличному от нуля;

2) матрицу у которой все элементы — нули, кроме диагональных элементов, равных 1, и элемента где l, т — не равные друг другу какие-нибудь два числа из натурального ряда 1, 2, . .., п, a t — произвольное, отличное от нуля число.

Замечание 4.2. К числу элементарных квадратных матриц относят обычно также матрицу у которой все элементы — нули, за исключением где l, т, как и выше, — не равные друг другу какие-нибудь два числа из натурального ряда 1, 2, ..., п, a h принимает все значения от 1 до п, кроме зна­чений, равных l, т. Однако в дальнейшем матрица а'" не причисляется к элементарным матрицам, поскольку она может быть выражена в виде произведения матриц типов (упражнение 1).

Элементарные преобразования (а) и (б) матрицы А равносильны умно­жению ее по индексу i соответственно на элементарные квадратные мат­рицы

В самом деле, произведение представляет кубическую матрицу п-го порядка, отличающуюся от А только тем, что ее l-е сечение ориента­ции (і) равно умноженному на t l-му сечению той же ориентации в мат­рице А. К этой же матрице приходим, подвергая А элементарному преобра­зованию (а). Точно так же произведение равно кубической матрице п-го порядка, отличающейся от А только тем, что ее m-е сечение ориента­ции (і) представляет сумму m-гo и умноженного на t l-го сечений ориента­ции (і) в матрице А. Тот же результат получим, подвергая А элементарному преобразованию (б).

Очевидно также, что элементарные преобразования (а) и (б) матрицы А равносильны соответственно невырожденным линейным преобразованиям

трилинейной формы

ассоциированной с матрицей А.

Аналогичные замечания имеют место для элементарных преобразований по индексу j или k матрицы А.

2. Всякая невырожденная квадратная матрица п-го порядка а может быть представлена, как известно, в виде произведения некоторого конеч­ного числа q элементарных матриц того же порядка

(4.1)

Поэтому произведение по какому-нибудь индексу, например i, кубиче­ской матрицы п-го порядка А на а представимо согласно формуле (3.5) в виде

что равносильно конечному числу элементарных преобразований матрицы А.

Таким образом, всякому невырожденному линейному преобразованию по любому ряду переменных трилинейной формы F, сопровождающемуся, как показано в § 2, умножением по соответственному индексу матрицы А формы F на невырожденную квадратную матрицу а линейного преобразо­вания, отвечает также конечная последовательность элементарных преобра­зований по тому же индексу матрицы А.

Например, трилинейная форма

приводится невырожденным и линейными преобразованиями

к трилинейной форме

При этом

где А и С — матрицы форм F и Ψ.

Матрица А приводится к С также цепочкой элементарных преобразований

Две трилинейные формы над полем Р называются эквивалентными в этом поле, если от одной из них можно перейти к другой при помощи невырожденных линейных преобразований с коэффициентами из поля Р. Соответственно этому две кубические матрицы над полем Р называются эквивалентными в этом поле, если от одной из них можно перейти к дру­гой при помощи конечного числа элементарных преобразований или, что то же самое, посредством умножения на невырожденные квадратные матрицы с элементами пз поля Р.

Говорят также об эквивалентности в более общем смысле или g-эквивалентности трилинейных форм и их матриц. Именно, две трилинейные формы F, Ψ (матрицы А, С) над полем Р называют эквивалентными в этом поле, если эквивалентны в поле Р формы F', Ψ (матрицы А', С), где F' — трилинейная форма, матрица которой А' —одна из шести транспо­нированных матриц относительно А. Таким образом, эквивалентные трили­нейные формы (кубические матрицы) являются также g-эквивалентными.

Замечание 4.3. Данное выше определение элементарных преобразо­ваний по какому-либо индексу кубической матрицы, а также определения эквивалентности и g-эквивалентности двух кубических матриц и ассоцииро­ванных с ними трилинейных форм очевидным образом распространяются на пространственные матрицы любого числа измерений и ассоциированные с ними полилинейные формы.

3. Возьмем представляемое формулой (3.10') произведение кубической матрицы п-гo порядка А на невырожденную квадратную матрицу того же порядка а. Пользуясь разложением (4.1) матрицы а на элементар­ные матрицыполучаем:

и так как порядок следования квадратных матриц в произведении по раз­личным индексам не влияет на результат умножения, то

или, в сокращенном обозначении,

(4.2)

Полагая

(4.3)

будем, таким образом, иметь:

Каждой из операций (4.3) равносильна одна из следующих операций, которые назовем симметрическими элементарными преобразованиями по индексам i, j матрицы А:

(а) умножение l-го сечения каждой из ориентации (i), (j) на одно и то же произвольное, отличное от нуля число t из поля Р;

(б) прибавление к m-му сечению каждой из ориентации (i), (j) умно­женного на t l-го сечения соответствующей ориентации (l, m—любые из значений 1, 2, . . ., n).

Эти операции в дальнейшем будем обозначать символами

Замечание 4.4. Элементарными преобразованиями типов (а), (б) можно совершить над матрицей А операцию

заключающуюся в перестановке l-го и m-го сечений, каждой из ориентации (i), (j) (упражнение 2).

Аналогично определяются симметрические элементарные преобразова­ния по индексам i, k или j, k матрицы А.

Таким образом, подвергая трилинейную форму F с кубической матри­цей А невырожденным линейным преобразованиям по двум каким-либо рядам переменных с одной и той же квадратной матрицей а, мы придем к трилинейной фoрме Ф, матрица которой В может быть получена также последовательным умножением по соответствующим двум индексам матрицы A на а или равносильной операцией — симметрическими элементарными пре­образованиями по этим двум индексам матрицы А, повторенными конечное число раз.

Точно так же, если форму

линейную относительно и квадратичную относительно с кубической матрицей симметрической относительно