Дискретно-непрерывная математика (стр. 76 )

В самом деле, выделяя один из индексов i, j, k, например i, и обозна­чая через Ii число инверсий в перестановке (1.7), образуемой значениями этого индекса в элементах трансверсали, входящих в произведение (1.10), умножим последнее на дополнительный множительПолучим выражение

(1.12)

которое будет иметь тот или иной знак в зависимости не только от знаков элементов трансверсали, но и от четности перестановки (1.7), совпадающей с четностью числа Ii. Поэтому, если есть число инверсий в перестановке (1.7'), то выражение

(1.12')

составленное из произведения (1.10') по тому же правилу, как и выражение (1.12) из произведения (1.10), будет равно выражению (1.12) только в том случае, когда перестановка (1.11) — четная. Если же эта перестановка — не­четная, то выражения (1.12) и (1.12'), отличаясь в этом случае знаком, уже не будут одинаковыми. Индекс i, значениями которого обусловливается по­ложительный либо отрицательный знак дополнительного множителя будем называть альтернативным, а индексы j, к — неальтернативными, по­скольку четности перестановок, образуемых их значениями, в рассматривае­мом случае не учитываются.

Пусть теперь два какие-нибудь из индексов i, j, k, например j и k, — альтернативные, а индекс i — неальтернативный. Принимая тогда во вни­мание четности перестановок (1.8) и (1.9), образуемых значениями альтер­нативных индексов в элементах трансверсали, входящих в произведение (1.10), умножим это произведение на дополнительный множитель где и— числа инверсий в перестановках (1.8) и (1.9). В этом случае выражение

(1.13)

уже ничем не будет отличаться от

(1.13')

где — числа инверсий в перестановках (1.8') и (1.9'), так как в силу сделанного выше замечания четности сумм исовпадают, какова бы ни была четность перестановки (1.11). (Эти определения относятся не только к индексам, но также к строкам и их направлениям, к сечениям (простым) и их ориентациям и пр.)

Пусть, наконец, все три индекса i, j, k — альтернативные. Тогда вы­ражения

(1.14)

(1.14')

так же как и выражения (1.12), (1.12'), одинаковы лишь тогда, когда перестановка (1.11) — четная. Если же эта перестановка—нечетная, то вы­ражения (1.14) и (1.14') отличаются знаком друг от друга, так как в этом случае четности сумм и противоположны.

Таким образом, рассмотренные выше выражения (1.12) или (1.14), когда принимаются во внимание четности перестановок, образуемых зна­чениями нечетного числа (1 или 3) альтернативных индексов, зависят от порядка множителей, тогда как для выражений (1.13) или (1.10), когда принимаются во внимание четности перестановок, образуемых значениями четного числа (2 или 0) альтернативных индексов, коммутативность умно­жения сохраняется. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать лишь выражения вида (1.13) и подобные им выражения

(1.15) (1.16)

составленные из элементов трансверсали (1.6) в предположении, что из всех индексов i, j, k только индексы i, k или i, j—альтернативные. Кроме того, будем рассматривать также выражения вида (1.10), составленные в пред­положении, что все индексы i, j, k —неальтернативные.

Составим теперь для всех трансверсалей матрицы (1.2) выражения вида (1.13) и возьмем их алгебраическую сумму

(1.17)

где суммирование распространено на все возможные комбинации любой перестановки с любой перестановкой при фиксированной перестановке Эта сумма, обозначаемая обычно символом Раиса где между вертикальными чертами написан общий элемент матрицы (1.2) и над альтернативными индексами j, k поставлен знак ±, а над неальтернативным индексом i знак +, называется кубическим детерминантом п-го порядка с сигнатурой Эту сигнатуру сокращенно будем записывать в виде указывая явно только

неальтернативный индекс i. Слагаемые суммы (1.17) называются членами кубического детерминанта

Число их, очевидно, равно (n!)2.

Аналогично определяютсяс помощью выражений (1.15), (1.16) соот­ветствующие той же матрице (1.2) кубические детерминанты п-го порядка с сигнатурами

Сумма (n!)2 членов вида (1.10), составленных для всех трансверсалей матрицы (1.2), дает кубический детерминант п-го порядкас сигнатурой который обычно называется кубическим перманентом натрицы (1.2).

В каждом члене кубического детерминанта с той или иной сигнату­рой элементы его, очевидно, могут быть расположены в таком порядке, чтобы перестановка образуемая значениями первого индекса i, представляла последовательность натуральных чисел 1, 2, ..., п.

Число, указывающее порядок детерминанта, если желательно обратить на него внимание, будем писать внизу правой вертикальной черты в обо­значении детерминанта.

При более подробном обозначении детерминантов кубической матрицы мы будем выписывать полностью элементы матрицы или в перспективном изо­бражении, или с помощью ее двумерных сечений, как это сделано в обозначе­ниях (1.1) и (1.1'), заменяя только в первом случае пунктир сплошными линиями, а во втором случае — крайние двойные черты простыми, причем неальтернативные направления всегда будем отмечать знаком +. Таким образом, кубические детерминанты 2-го порядка матрицы (1.1)

(1.18)

(1.19) (1.20) (1.21)

могут быть представлены в виде рис. 7 или в виде

Рис. 7.

Детерминант и перманент обычной матрицы п-го порядка

также могут быть обозначены символами Раиса

как двумерные детерминанты с сигнатурамиТаким образом, имеем:

9. Дополнительные множители вида (—1)N, на которые приходится умно­жать произведения элементов каждой трансверсали кубической матрицы n-го порядка, чтобы получить члены ее детерминанта с той или иной сигнатурой, легко находятся графическим способом. Для пояснения этого спо­соба воспользуемся следующей диаграммой, позволяющей определить чет­ность любой подстановки п-й степени

совпадающую с четностью суммы чисел инверсии в перестановках

из чисел 1,2, ..., п.

В диаграмме (рис. 8) каждой паре элементов подстановки сопоставляется отрезок, соединяющий пару соответствующих точек на горизонталях и