Дискретно-непрерывная математика (стр. 45 )

22.4.3. Лемма. Если и для некоторого то есть алгебраически простое собственное значе­ние матрицы А.

Доказательство. Если — собственные значения

матрицы А, то — собственные значения матрицы Ak. Согласно теореме 22.3.1, число является собственным значением матрицы А, и если бы оно было кратным собствен­ным значением, то было бы кратным собствен­ным значением матрицы что невозможно, так как должно быть простым собственным значением для в силу теоремы 22.2.10.

Теперь посмотрим, в какой мере теорема Перрона обоб­щается на неотрицательные неразложимые матрицы. Этот пе­реход от положительных матриц к неотрицательным связан с именем Фробениуса.

22.4.4. Теорема. Пусть и предположим, что А неразложима и неотрицательна. Тогда

— собственное значение матрицы А;

(с) для некоторого положительного вектора х имеем

— алгебраически (а значит, и геометрически) про­стое собственное значение для А.

Доказательство. Следствие 22.1.25 показывает, что (а) имеет место при условиях даже более слабых, чем неразложимость. Утверждение (b) справедливо по отношению ко всем неотрица­тельным матрицам в силу теоремы 22.3.1; согласно этой же тео­реме, существует неотрицательный вектор такой, что Но тогда и вслед­ствие положительности матрицы вытекающей из леммы 22.4.1, вектор должен быть положительным согласно (22.1.14). Поэтому Чтобы установить (d), применим лемму 22.4.2, из которой следует, что если — кратное собственное значение матрицы А, то—кратное собственное значение матрицы В силу леммы 22.4.1 получаем а стало быть, согласно лемме 22.4.3, число должно быть простым собственным значением матрицы

Эта теорема гарантирует одномерность собственного под­пространства, отвечающего перронову корню неразложимой не­отрицательной матрицы. В случае произвольной неразложимой неотрицательной матрицы ее единственный положительный соб­ственный вектор с суммой координат, равной 1, называется пер-роновым вектором.

Поскольку любая неразложимая неотрицательная матрица имеет положительный собственный вектор, к этому классу матриц применимы результаты, полученные в конце разд. 22.1. Осо­бое значение имеет вариационная характеризация 22.1.32 спек­трального радиуса. Далее, АT неразложима тогда и только тог­да, когда А неразложима. Поэтому любая неразложимая не­отрицательная матрица обладает также положительным левым собственным вектором. Таким образом, теорема 22.3.4 в дей­ствительности справедлива для неотрицательных неразложи­мых матриц. Именно это наиболее важно для следующего рас­ширения теоремы 22.1.18.

22.4.5. Теорема. Пусть Предположим, что матрица А

неотрицательна и неразложима и Тогда

Еслии является собственным значением

матрицы В, то существуют числа такие, что

где

Доказательство. Из теоремы 22.1.18 мы уже знаем, что если то Если то для какого-то имеем где и поэтому

Согласно теореме 22.3.4, неразложимость матрицы А позволяет заключить, что и, следовательно,

Более того, в силу утверждений (с) и (d) теоремы 22.4.4, и, поскольку вследствие (22.1.15) и равенства находим Для

определим с помощью соотношенияположим и Тогда и

Таким бразом, вследствие чего, так как и

получаем □

Упражнение. Продумать детали последней части этого дока­зательства. Указание. Положить и заметить, что

т. е. неравенство обращается в равенство, и

Если А>0, то, как мы знаем из теоремы Перрона, число является единственным собственным значением матрицы А с максимальным модулем. Если то собственных значений с максимальным модулем может быть больше чем одно. Однако в этом случае матрица А должна иметь специальную форму и эти собственные значения располагаются весьма регу­лярным образом.

8.4.6. Следствие. Пусть и предположим, что матрица А неотрицательна и неразложима и множество

собственных значений с максималь­ным модулем содержит в точности k различных элемен­тов. Тогда кратность любого собственного значения равна 1 и