Дискретно-непрерывная математика (стр. 116 )

12. Обобщая понятия инвариантных множителей и элементарных делителей по р — т простым индексамматрицы М(λ) (упражнения 10 и 11), дать определе­ния инвариантных множителей и элементарных делителей по - кратным индексамматрицы М(λ) и доказать, что эти инвариантные множители и элементарные делители остаются неизменными при ее элементарных преобразованиях.

Модуль 27

Классификация трилинейных, линейно-квадратичных и кубических двойничных форм

27.1. Классификация двойничных трилинейных форм

1. В 1920 г. Шварц впервые получила классы всех двойничных трилинейных форм, эквивалентных в поле комплексных чисел, и указала, пользуясь комитантами, для каждого класса представляющую его канони­ческую форму.

К тому же результату на основании геометрических соображений при­шел Душек.

Рис. 13.

Ольденбургер с помощью арифметических инвариантов указал канонические виды двойничных трилинейных форм в комплексной и вещественной областях. Соколовым были получены кано­нические виды этих форм путем элементарных преобразований соответ­ствующих кубических матриц.

Из более ранних работ по теории двойничных трилинейных форм отметим мемуары Лепежа и Дедекинда. Вопросу о классификации трилинейных форм (главным образом тройничных) над полем комплексных чисел посвящены работы Тролла и Чэнлер.

2. Приводимая ниже классификация двойничных трилинейных форм основывается на следующей теореме.

Теорема 1.1. Всякая ненулевая куби­ческая матрица 2-го порядка эквивалентна в поле комплексных чисел одной и только одной из следующих канонических матриц (рис. 13). В поле вещественных чисел к каноническим матрицам, кроме указанных выше, относится также матрица 1' (рис. 14).

Рис. 14

Действительно, предполагая, что не все эле­менты матрицы двойничной трилинейной формы равны нулю, мы можем, не ограничивая

общности, считать

Подвергая тогда матрицу А последовательно элементарным преобразо­ваниям

получим матрицу вида

(1.1)

Будем различать следующие случаи.

Тогда матрица (1.1) операциями

приводится к матрице вида

(1.2)

Тут возможны такие варианты.

1) Оба элемента С122, С212 отличны от нуля. Совершая тогда над мат­рицей (1.2) операции

получим матрицу вида

(1.3)

где

Составим из элементов матрицы (1.3) по формулам (4.1) гл. III квад­ратичные формы Приравнивая их нулю и полагая μ получим уравнения

Пусть дискриминант

квадратичных форм не равен нулю.

Тогда упомянутые выше уравнения имеют конечные, отличные от нуля, простые корни:

(1.4)

Обращаясь теперь к матрице (1.3), подвергнем ее операциям

В результате получим матрицу

которая после подстановки выражений (1.4) примет вид

Производя над последней матрицей операции

придем к канонической матрице (І), которой будет эквивалентна в поле комплексных чисел матрица А при сделанных нами предположениях. В поле вещественных чисел эквивалентность будет иметь место лишь в том слу­чае, когда дискриминант ∆ формы F, ассоциированной с матрицей А, — отрицательный, так как тогда, согласно замечанию 4.1 гл. III, Если же то и для нахождения эквивалентной канонической матрицы подвергаем матрицу (1.3) операциям

В результате получим каноническую матрицу (І').

Пусть теперь дискриминант — δ равен нулю, т. е. Совершая тогда над матрицей (1.3) операции

придем к канонической матрице (ІІ), которой будет, таким образом, экви­валентна матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

2) По крайней мере один из элементов равен нулю. Тогда, как нетрудно убедиться, матрица (1.2) приводится к каноническому виду (I).

В этом случае матрица (1.1) операцией

приводится к матрице вида

(1.5)

Здесь различаем следующие варианты.

1) Оба элемента — Е122, Е212 — отличны от нуля.

Производя тогда над матрицей (1.5) операцию приходим к матрице вида

(1.6)

где Подвергнем теперь матрицу (1.6) операциям

В результате получим каноническую матрицу (І), которой будет экви­валентна в поле комплексных чисел матрица А при упомянутых выше условиях. В поле вещественных чисел эквивалентность будет иметь место только при Если же то матрицу (1.6) подвергаем операциям

и приходим к канонической матрице (І')•

2) Один из элементов равен нулю. Тогда матрица (1.5) приводится к каноническому виду (ІІ).

3) Оба элемента Е122, Е212 равны нулю.

Матрица (1.5) принимает тогда после операции вид канонической матрицы которой будет, таким образом, эквивалентна матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.

В этом случае матрица (1.1) после надлежащих преобразований пере­ходит в каноническую матрицу (І).

Если при этом то матрица (1.1) имеет канонический вид (IV).

Если же то операциями

матрица (1.1) приводится к каноническому виду

Точно так же, если то матрица (1.1) после операций

принимает канонический вид

Наконец, если ито, подвергая матрицу (1.1) операциям