Дискретно-непрерывная математика (стр. 4 )

Утверждение относительно ранга (тем самым и относи­тельно положительной определенности матрицы С*АС) было бы доказано, если бы мы могли утверждать, что равенства С*АСх=0 и Сх=0 эквивалентны. Действительно, это означало бы, что матрицы С*АС и С имеют одно и то же ядро (а следовательно, одинаковый ранг). Если Сх=0, то, очевидно, С*АСх=0. Обратно, если С*АСх=0, то откуда, снова используя положительную определенность матрицы А, получаем Сх = 0.

Упражнение. Пусть матрица положительно полуопределена, но не является положительно определенной, и пусть С — произвольная матрица из Мn. Показать, что матрица С*АС также положительно полуопределена, но положительно опреде­ленной не будет. Для случая где построить пример, показывающий, что С*АС может быть положительно определенной даже при вырожденной матрице

Упражнение. Показать, что конус положительно (полу) опре­деленных матриц инвариантен относительно преобразования эрмитовой конгруэнтности. См. определение 18.5.4.

Упражнение. Пусть матрица эрмитова. Показать, что она тогда и только тогда будет положительно (полу)определенной, когда существует невырожденная матрица такая, что С*АС положительно (полу)определена.

Что произойдет, если опустить в определении (21.1.1) требо­вание, чтобы матрица А была эрмитовой, и использовать только вещественные векторы? Если А — вещественная матрица, а то произведение вещественной можно, как прежде,

рассматривать матрицы, для которых при всех

(даже если А несимметрична). Если А — комплексная матрица либо допускаются векторы то можно заменить (21.1.1)

условием

(21.1.1′)

Определим эрмитову компоненту матрицы А как матрицу

(21.1.7)

При п = 1 это попросту вещественная часть комплексного числа А.

Упражнение. Показать, что условие (21.1. 1′) равносильно тому, что матрица Н(А) положительно определена.

Упражнение. Показать, что для любой матрицы справедливо представление где

— матрица, называемая косоэрмитовой компонен­той матрицы А.

21.2. Хaрактеризации

Существует несколько простых и полезных характеризаций положительно определенных матриц.

21.2.1. Теорема. Эрмитова матрица положительно полуопределена в том и только в том случае, если все ее собственные значения неотрицательны. Она положительно определена в том и только в том случае, если все собственные значения по­ложительны.

Доказательство. Поскольку все собственные значения мат­рицы А положительны, то для любого ненулевого вектора

Здесь — диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы A, у = Ux и U — уни­тарная матрица. Обратное утверждение содержится в утвержде­нии 21.1.4. Случай положительно полуопределенной матрицы рас­сматривается аналогичным образом.

Упражнение. Показать, что невырожденная матрица тогда и только тогда будет положительно определенной, когда положительно определена А-1.

Упражнение. Пусть матрица положительно полуопределена. С помощью теоремы 21.2.1 показать, что А тогда и только тогда будет положительно определенной, когда rank A=п. Сравнить с задачей 1 из 21.1.

21.2.2. Следствие. Если матрица положительно полуопределена, то положительно полуопределены и все степени Ak, k=1,2.....

Доказательство. Если — собственные значения

матрицы A, то собственными значениями матрицы Ak будут числа

21.2.3. Следствие. Если — эрмитова матрица со стро­гим диагональным преобладанием и положительными диаго­нальными элементами, то А положительно определена.

Доказательство. Это утверждение есть частный случай тео­ремы 20.1.10. Из сделанных предположений вытекает, что каж­дый круг Гершгорина матрицы A принадлежит открытой правой полуплоскости. Поскольку все собственные значения эр­митовой матрицы вещественны, они должны быть положитель­ными; следовательно, по теореме 21.2.1 A положительно опре­делена.

Упражнение. Пусть эрмитова матрица А эрмитово конгруэнт­на матрице с положительными диагональными элементами и строгим диагональным преобладанием. Показать, что А положи­тельно определена.

Следующая характеризация не слишком практична при ре­альной проверке матрицы на положительную определенность, однако может быть полезна с теоретической точки зрения.

21.2.4. Следствие. Пусть — эрмитова матрица с харак­теристическим многочленом

Предположим, что и Матрица А тогда и

только тогда будет положительно полуопределенной, когда для всех k от п — m до п и для

Мы полагаем

Доказательство. Утверждение следствия состоит в том, что все старшие коэффициенты ak ненулевые и имеют строго чере­дующиеся знаки. Если это условие выполнено, то у рA(t) не мо­жет быть отрицательных корней; следовательно, все собствен­ные значения матрицы А должны быть неотрицательными. Об­ратно, пусть A положительно полуопределена. Обозначим ее положительные собственные значения через (остальные п — m собственных значений равны нулю). По ин­дукции можно доказать, что все коэффициенты многочленов

не­нулевые и имеют чередующиеся знаки. Умножение на tn-m дает рA(t).

Чтобы упростить формулировку следующего утверждения, обозначим через Ai ведущую главную подматрицу матрицы A, определяемую первыми i строками и столбцами:

Мы уже отмечали, что в положительно

определенной матрице А все главные миноры положительны. В действительности, для эрмитовой матрицы А верно и обрат­ное. Однако можно доказать более сильное утверждение. Заме­тим, что поскольку A эрмитова, эрмитовы и все Ai, а потому каждая матрица Ai имеет вещественный определитель.

21.2.5. Теорема. Эрмитова матрица тогда и только тогда будет положительно определенной, когда det Ai > 0 для i = 1, 2, ..., п. Более общо, положительность любой последо­вательности из п вложенных главных миноров матрицы А (а не только последовательности из ведущих главных миноров) необ­ходима и достаточна для положительной определенности этой матрицы.

Доказательство. Из следствия 21.1.5 известно, что для поло­жительно определенной матрицы А det Ai > 0 при всех i = 1, 2, ..., п. Обратное утверждение докажем, пользуясь ин­дукцией и разделительными неравенствами, справедливыми для всякой эрмитовой матрицы (см. (18.3.8)). Для матрицы A1 по­рядка 1 условие det A1>0 означает, что А1 положительно опре­делена. Если для некоторого k<n матрица Ak положительно определена, то все ее собственные значения положительны и, как следует из разделительных неравенств, положительны все собственные значения матрицы Ak+1, исключая, возможно, наи­меньшее. Но произведение собственных значений матрицы Ak+1 равно числу det Ak+1, по предположению положительному, по­этому Ak+1 не может иметь только одно отрицательное собствен­ное значение. Отсюда заключаем, что наименьшее собственное значение этой матрицы также положительно; следовательно, Ak+1 должна быть положительно определенной. Поскольку Ап= А, то доказательство закончено. В случае произвольной последовательности вложенных миноров нужно рассмотреть мат­рицу, получаемую из А надлежащими перестановками строк и столбцов.