Дискретно-непрерывная математика (стр. 107 )

Сильвестр доказал, что всякий полином от коэффициентов формы f, являющийся ее относительным инвариантом, есть в то же время полином от S и Т. Так, например, дискриминант R формы f — ее от­носительный инвариант веса 12—представляется в виде

(4.22)

(Это выражение отличается только знаком от выражения дискриминанта R, дан­ного Аронгольдом.)

Выражение

2), (4.23)

остающееся неизменным нри невырожденном линейном преобразовании формы f, примем за абсолютный инвариант этой формы. (На единицу меньше абсолютного инварианта Аронгольда.)

Замечание 4.5. Вводя в рассмотрение в случае поля вещественных чисел символ равный +1, —1 или 0, смотря по тому, будет ли Т > 0, Т < 0 или Т = 0, видим, что вследствие четного веса относительного инварианта Т есть арифметический инвариант по отношению к вещественным невырожденным линейным преобразованиям формы f, а сле­довательно, и по отношению к вещественным симметрическим элементарным преобразованиям соответствующей матрицы А.

4. С помощью относительных инвариантов S, Т формы f и матриц С, К, — присоединенной и смешанно-присоединенной для матрицы А формы f, — мы можем теперь составить симметрическую квадратную матрицу 9-го по­рядка которую будем называть сложной квадратной матри­цей для А.

Теорема 4.8. Ранг сложной квадратной матрицы для А есть арифметический инвариант относительно симметрических элементарных преобразований матрицы А. В поле вещественных чисел, кроме ранга , арифметическим инвариантом относительно вещественных симметрических элементарных преобразований матрицы А будет также сигнатура σ матрицы.

Действительно, операция

над матрицей А, вызывая умножение S на t4 и Т на t6, влечет за собой в матрице С умножение двух строк на t2, пяти строк на t, двух строк на 1 и те же операции над соответственными столбцами, а в матрице К — умножение тех же строк и столбцов соответственно на Следовательно, эта операция сопровождается умножением в матрицедвух строк и двух соответственных столбцов на t6, пяти строк и пяти соответственных столбцов на t4, двух строк и двух соответственных столбцов на t3. Операция

над А, не изменяя S и Т, вызывает в матрицах С и К, а следовательно, и в матрице одни и те же операции, состоящие в прибавлении к неко­торым строкам и соответственным столбцам умноженных на других строк и соответственных столбцов.

Таким образом, симметрические элементарные преобразования матрицы А влекут за собой симметрические элементарные преобразования матрицы при которых ее ранг остается неизменным.

В поле вещественных чисел, когда симметрические элементарные пре­образования матрицы А вещественны, вызываемые ими симметрические эле­ментарные преобразования матрицы также вещественны, а потому при этих преобразованиях, кроме ранга не меняется также сигнатура матрицы

Замечание 4.6. Как мы увидим далее, абсолютный инвариант I трой­ничной кубической формы f, ранг (двумерный r или трехмерный соот­ветствующей кубической матрицы А и ранги симметрических квад­ратных матриц (а в поле вещественных чисел и сигнатуры этих матриц, а также образуют полную систему инвариантов формы f. (Систему инвариантов формы данного типа над полем Р называем полной, если две формы рассматриваемого типа, у которых значения всех инвариантов системы совпа­дают, переводятся одна в другую невырожденными линейными преобразованиями с коэф­фициентами из поля Р. В классической теории алгебраических инвариантов это выра­жение применяется в несколько ином, более узком смысле. В этом смысле для тройничной кубической формы с комплексными коэффициентами Горданом дана полная система комитантов, состоящая из 34 форм. Чэнлер указала полную систему комитантов для тройничной трилинейной формы над полем комплексных чисел.)

5. Обращаясь к р-линейной форме

с соответствующей р-мерной матрицей п-го порядка докажем следующую теорему.

Теорема 4.9. Гипердетерминант

матрицы А р-линейной формы F при р четном есть ее относительный инвариант веса 1 для каж­дого ряда переменных (Кэли: обобщение известной теоремы: дискриминант билинейной формы (т. е. детерми­нант соответствующей матрицы) есть относительный инвариант веса 1 для каждого ряда ее переменных.)

Действительно, подвергая форму F невырожденному линейному преоб­разованию

(4.24)

с матрицей детерминант которой мы получим форму

с матрицей

Следовательно, ее гипердетерминант представляется выражением

Если форму F подвергнем последовательному ряду преобра­зований (4.24), полагая то придем к форме

с матрицей гипердетерминант которой, очевидно, будет связан с гипердетерминантом матрицы А соотношением

(4.25)

что и требовалось доказать.

Замечание 4.7. Из всех детерминантов матрицы А только гиперде­терминант (если р — четное) является инвариантом формы F. Поэтому, на­пример, ни один из детерминантов

Кубической матрицы А не будет инвариантом ассоциированной с ней трилинейной формы F.

Аналогично доказывается более общая

Теорема 4.10. Детерминант наивысшего рода

при р четном или при р нечетном (р+1)-мерной матрицы п-го порядка соответствующей системе п р-линейных форм

есть совместный относительный инвариант этих форм веса 1 для каждого из р рядов переменных.

Замечание 4.8. Если все п форм системы одинаковы, то при р четном

и мы получаем как частный случай теорему 4.9; при р нечетном

что вполне согласуется с тем, что теорема 4.9 тогда не имеет места.

В случае, когда матрица А р-линейной формы F — симметрическая и форма F подвергается когредиентным линейным преобразованиям

с одной и той же матрицей детерминант которой при мы получим р-линейную форму F' с симметрической матрицей А', гипер - детерминант которой (если р — четное) на основании формулы (4.25) связан с гипердетерминантом матрицы А соотношением