Дискретно-непрерывная математика (стр. 90 )

то

с другой стороны,

3. Полагая, наконец, в трилинейной форме

(3.12)

получим трилинейную формугде

Следовательно, матрицаформы Ψ может быть представлена в виде следующих произведений матрицы А формы F на матрицы а, b, с преобразований (3.12):

(3.13)

Равенства (3.13) подтверждают сделанное выше замечание о порядке следования квадратных матриц в произведении по различным индексам кубической матрицы на квадратные.

Если матрицы а, b, с одинаковы, то равенства (3.13) принимают вид

(3.14)

где — сокращенное обозначение произведений

Если при этом матрица А — симметрическая (кососимметрическая), то

и, следовательно, матрица (3.14) также будет симметрической (кососимметрической).

Итак, если симметрическую (кососимметрическую) кубическую матрицу п-го порядка последовательно умножить по всем индексам (в каком угодно порядке) па квадратную матрицу п-го порядка, то произведение будет симметрической (кососимметрической) кубической матрицей того же порядка.

Вообще, подвергая р-линейную форму с матрицей линейным преобра-

зованиям

с матрицами

мы придем к р-линейной форме

матрица которой будет представлять произведение

р-мерной матрицы п-го порядка А на квадратные матрицы того же порядка (упражнение 5). Порядок следования квадратных матриц в этом произведении может быть каким угодно.

В частности, подвергая р-линейную форму с р-мерной диагональной матрицей у которой все диагональные элементы равны единице, невырожденным линейным преобразованиям

с матрицами

мы получим р-линейную форму F(р), матрица которой будет равна произве­дению

Если т. е. если то преобразование, которому подвергается в этом случае форма F и ее матрица Е, назы­вается, согласно терминологии Ольденбургера, подобным. Нетрудно выяснить структуру матрицна которые умножается по всем индексам матрица Е (упражнение 6).

4. Преобразуем теперь трилинейную форму

с матрицей подвергая ее билинейным преобразованиям

(3.15')

с матрицами Получим в результате пятилинейную форму

где

Точно так же, подвергая форму F билинейным преобразованиям

(3.15")

или

(3.15")

с теми же матрицами а и b, как у преобразований (3.15'), получим соот­ветственно пятилинейную форму

или

где

Матрицы преобразованных форм будут тогда соответственно произведениями

Таким образодт, имеем:

(3.16')

(3.16")

(3.16'")

и

где символамиобозначены последовательности в каком угодно порядке двух знаков + и ± над соответственными индексами.

Вообще, подвергаяр-линейную форму

с матрицей

- линейным преобразованиям:

с матрицами

мы придем к-линейной форме

матрица которой будет представлять произведение

р-мерной матрицы А на q-мерные матрицы (упражнение 10).

Точно так же, подвергая форму р-й степени

с симметрической матрицей

преобразованию (q — 1)-й степени

с матрицей мы получим форму р (q—1)-й степени

которой соответствует симметрическая p(q — 1)-мерная матрица, представляю­щая произведение по всем индексам (в каком угодно порядгге) p-мерной матрицы A на q-мерную матрицу а и обозначаемая сокращенно через (упражнение 11).

25.4. Элементарные преобразования пространственной матрицы

1. Невырожденным линейным преобразованиям полилинейной формы, ко­торые сопровождаются, как было показано в предыдущих параграфах, умно­жением пространственной матрицы этой формы на квадратные матрицы линейных преобразований, соответствуют также элементарные преобразования пространственной матрицы, введенные Райсом.

Возьмем какую-нибудь пространственную матрицу, например кубиче­скую матрицу п-го порядка

Элементарными преобразованиями по индексу i матрицы А называются следующие операции:

(а) умножение l-го сечения ориентации (i) на произвольное, отличное от нуля число t из поля Р;

(б) прибавление к m-му сечению ориентации (i) умноженного на t l-го сечения той же ориентации (l, m - любые из значений 1, 2, .. ., п).

Операции (а), (б) в дальнейшем будем обозначать символами