Дискретно-непрерывная математика (стр. 147 )

Случай I.Тогда, полагая в пучке (2.12) последовательно

и

получим две формы этого пучка

где

Приняв эти формы за базис, представим пучок в виде

(2.13)

Рассмотрим дна возможных варианта.

Вариант 1. Пусть m и п не равны одновременно нулю.

Тогда подвергнем матрицу пучка (2.13) операциям

В результате получим матрицу (рис. 54), которую можно считать канони­ческой, если

(2.14)

Рис. 54.

В этом случае ей соответствует канонический пучок

(2.15)

с базисом

Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей (2.14), тож­дественно равны нулю, кроме минора

Следовательно,

Далее, поскольку среди кубических миноров 2-го порядка, порождаемых той же матрицей, имеются равные

Таким образом, элементарные делители пучка (2.15) равны и характеристика его будет [21]. Для матрицы (2.14) при всех значениях параметров имеем:

При этом относительные инварианты тождественно равны нулю, следовательно,

(2.16)

Таким образом, пучок плоских линий 3-го порядка, представляемых формами пучка (2.15), состоит из нераспадающихся линий с двойной точкой, у которых касательные в этой точке совпадают, из тройки прямых, из ко­торых две совпадают, и из тройки различных, пересекающихся в одной точке прямых. Все линии пучка имеют четыре общие точки, из которых одна является двойной точкой нераспадающихся линий пучка. Двойная прямая первой тройки касается нераспадающихся линий пучка к их двойной точке, а про­стая прямая этой тройки проходит через остальные общие точки; точка пересечения этих прямых отлична от точек, общих всем линиям пучка. Прямые второй тройки пересекаются в двойной точке нераспадающихся ли­ний пучка и каждая проходит через одну из остальных общих точек.

Если то, подвергая матрицу (2.14) операциям

приводим ее к виду (рис. 55), которому соответствует канонический пучок

(2.18)

с такой же характеристикой, как и у пучка (2.15).

Рис. 55.

Для матрицы (2.17) при всех значениях параметров имеем:

При этом выполняется условие (2.16).

Следовательно, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий пучку кубических тройничных форм (2.18), состоит из нераспадающихся линий с двойной точкой, у которых касательные в этой точке совпадают, и из двух троек прямых, в каждой из которых две прямые совпадают. Все линии пучка имеют три общие точки. Одна из них —двойная точка нерас­падающихся линий пучка, другая —точка взаимного касания этих линий, третья — точка их пересечения. Двойная прямая одной тройки касается нераспадающихся линий пучка в их двойной точке, а простая прямая этой тройки — в их точке взаимного касания; имеете с тем последняя прямая проходит через третью общую точку линий пучка. Прямые другой тройки пересекаются в двойной точке нераспадающихся линий пучка, при­чем двойная прямая этой тройки проходит через общую точку взаимного касания, а простая прямая — через общую точку пересечения.

Вариант 2. Пустьв пучке (2.13).

Тогда он имеет канонический вид

(2.19)

Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые соответствующей мат­рицей, тождественно равны нулю, кроме минора

Из кубических миноров 2-го порядка, порождаемых той же матрицей, имеем, кроме тождественно равных нулю, также равные Следовательно, и элементарные делители пучка (2.19) равны μ, μ, λ, а потому характеристика его будет

Для матрицы пучка (2.19) при всех значениях параметров μ, λ имеем:

При этом выполняется условие (2.16).

Таким образом, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий пучку (2.19), состоит из нераспадающихся линий с двойной точкой, у ко­торых касательные в этой точке совпадают, и из двух троек прямых, при­чем в одной тройке совпадают две прямые, а в другой — все три. Все линии пучка имеют две общие точки; одна из них — двойная точка нераспадаю­щихся линий пучка, другая—их точка соприкасания. Тройная прямая пучка проходит через эти две точки, двойная прямая касается нераспада­ющихся линий пучка в их двойной точке, а простая прямая — в точке со­прикасания; точка пересечения этих касательных отлична от точек, общих всем линиям пучка.

Случай II.

Пусть при этом

не равны одновременно нулю.

Здесь возможны два варианта в зависимости от того, будет ли или

Вариант 1.

Тогда, полагая в пучке (2.12) последовательно

и

получим две формы пучка: где

Принимая их за базис, представим пучок (2.12) в каноническом виде

(2.20)

с соответствующей матрицей (рис. 56).

(2.21)

Рис. 56.

Порождаемые матрицей (2.21) кубические миноры 3-го порядка тожде­ственно равны нулю, кроме минора

Следовательно,

Далее, поскольку среди кубических миноров 2-го порядка, порождаемых той же матрицей, имеются равные Поэтому пучок (2.20) имеет единственный элементарный делитель и характеристика его будет [3].

Для матрицы (2.21) при всех значениях параметров имеем:

Таким образом, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий пучку (2.20), содержит, кроме нераспадающихся линий с двойной точкой, у которых касательные в этой точке совпадают, также тройку прямых, из которых две совпадают. Все линии пучка имеют две общие точки; одна из них — двойная точка нераспадающихся линий пучка. Эти точки лежат на простой прямой упомянутой выше тройки, двойная прямая которой касается нераспадающихся линий пучка в их двойной точке.

При l=0 пучок (2.20) будет сизигетическим (пучок кубических тройничных форм называем сизигетическим, если за базис его можно взять такие две формы пучка, что одна из них является гессианом другой с точностью до числового множителя) (упражнения 10, 11), так как тогда форма с точностью до постоянного множителя является гессианом любой формы пучка, соответствующей значению параметра λ, отличному от нуля.