Дискретно-непрерывная математика (стр. 100 )

Следствие I. Если один из двумерных рангов, например ri куби­ческой матрицы равен 1, то ее трехмерные рангитакже равны 1.

Следствие II. Если два какие-либо из двумерных рангов кубичес­кой матрицы равны 1, то все трехмерные ранги ее также равны 1.

Следствие III. Если трехмерный ранг по каким-нибудь двум индексам кубической матрицы п-го порядка равен п, то ее двумерные ранги по каждому из этих индексов также равны п.

Следствие IV. Если два какие-либо из трехмерных рангов куби­ческой матрицы п-го порядка равны п, то все двумерные ранги eе также равны п.

Теорема 2.3. Если трехмерный ранг по одной паре индексов куби­ческой матрицы А равен 1, то ее трехмерный ранг по другой какой-либо паре индексов и двумерный ранг по индексу, общему этим двум парам, также равны 1.

В самом деле, пусть один из трехмерных рангов, например матри­цы равен 1. Нe ограничивая общности, можем предположить, что Прибавляя тогда в матрице А 1-е сечение каждой ориентации, умножаемое всякий раз на выбранное надлежащим образом число, ко всем параллельным сечениям, мы получим кубическую матрицу п-го порядка, у которой все элементы трех строк, имеющих общий элемент A111, равны нулю, за исключением одного этого элемента. Так как в силу теоремы 2.1 ранг преобразованной матрицы равен 1, то последняя имеет вид рис. 12, где все элементы, остающиеся после вы­черкивания 1-го сечения каждой ориентации, равны нулю.

(2.1)

Рис. 12.

Если другой какой-либо из трехмерных рангов, например матрицы А, а следователь­но, и матрицы (2.1), равен 1, то в последней все элементы 1-го сечения ориентации (j), за исключением А111, равны нулю, а потому двумерный ранг rk матрицы (2.1), а следовательно и матрицы А, равен 1. Если же ранг матрицы А больше, чем 1, то среди элементов 1-го сечения ориен­тации (j) в матрице (2.1) должен быть, кроме А111, по крайней мере еще один элемент, отличный от нуля. Очевидно, не нарушая общности, таким элементом можем считать В212, и так как рангматрицы (2.1) равен 1, то все элементы ее 1-го сечения ориентации (k), за исключением А111, должны быть нулями. В этом случае матрица (2.1), а следовательно и А, имеет трехмерный ранг и двумерный ранг rj, оба равные 1.

Из теоремы 2.3 вытекает очевидное

Следствие. Если все трехмерные ранги кубической матрицы равны 1, то и все двумерные ранги ее также равны 1.

Замечание 2.1. Если кубическая матрица — симметрическая отно­сительно двух каких-нибудь индексов, то ее трехмерные ранги по каждой паре индексов, содержащей один из этих двух индексов, одинаковы, а трех­мерный ранг по двум индексам симметрии матрицы А не превышает дву­мерного ранга ее по любому из этих индексов.

Замечание 2.2. Если кубическая матрица — симметрическая, то все ее трехмерные ранги одинаковы и могут быть объединены в одно понятие трехмерного ранга не превышающего ее двумерного ранга r.

Замечание 2.3. Из следствии II и III теоремы 2.2 и следствия теоремы 2.3 вытекает, что у симметрической кубической матрицы 2-го по­рядка A

2. Возьмем теперь р-мериую матрицу п-гo порядка

Фиксируя в ней значения каких-нибудь индексов, например последних т индексов в то время как остальные р — т индексов пробегают независимо друг от друга значения 1, 2,...,п, мы получим сечение (т-кратное) ориентации являющееся (р — т)-мерной матрицей п-го порядка. Из таких сечении, число которых равно пт, можно составить (р — m + 1)-мерную матрицу

(2.2)

где строки каждого из направлений содержат по п элементов, тогда как строки m-кратного направления

содержат по пт элементов матрицы А, расположенных в нормальном порядке. Выделим в матрице А' по каких-нибудь сечений каждой из ориентации

располагая их в нормальном порядке, причем в случае, когда р — т+1 — нечетное, некоторые или даже все из v сечений ориентации

могут быть повторными. Составим затем из элементов, общих всем выделенным сечениям, (р—т + 1)-мерный детерминант v-гo порядка, в котором все индексы — альтернативные, а m-кратный индекс

является альтернативным или неальтернативным, смотря потому, будет ли р — т+1 четным или нечетным. Этот детерминант называется (р — т+1)-мерным минором v-го порядка, порож­даемым матрицей А, сигнатура которого будет

в зависимости от четности p — m+1.

Наивысший порядок такого рода детерминантов, отличных от нуля, называется (р—т+1)-мерным рангом по индексам

(простым) матрицы А. Число (р — т + 1)-мерных рангов по р — т индексам (простым) матрицы A равно В частности, матрица А имеет р-мерных рангов, которые, очевидно, все одинаковы, если p — четное, и, следовательно, могут быть объединены в одно понятие p-мерного ранга матрицы четного числа р измерений. Например, четырехмерная матрица имеет один четырехмерный ранг и шесть трехмерных рангов по двум индексам (простым)

Наибольшее значение (р — т+ 1)-мерного ранга по любым р — т индексам (простым) h-мерной матрицы n-го порядка А равно п, а наименьшее значение — нулю, когда матрица А — нулевая. Как и при доказательстве теоремы 2.1, нетрудно убедиться, что этот ранг не изме­няется при операциях (а) и (б) над матрицей A и, следовательно, имеет место более общая

Теорема 2.4. Каждый (р — т-+1)-мерный ранг по р — т индексам (простым) р-мерной матрицы есть арифметический инва­риант относительно ее элементарных преобразований.

Точно так же легко обобщаются для p-мерной матрицы теоремы 2.2 (упражнение 2), 2.3 (упражнение 7) и вытекающие из них следствия (упражнения 3 — 6, 8).

Замечание 2.4. Если p-мерная матрица — симметрическая, то ее (р—т +1 )-мерныеранги по каждым р — т индексам (простым) одинаковы.

3. Разобьем в (р — т+1)-мерной матрице (2.2) р — т индексов пробегающих независимо друг от друга значения 1, 2,..., п, на групп из

индексов каждая и будем рас­сматривать эти группы индексов как кратные индексы с соответственными кратностями при этом, когда индексов какой-либо группы пробегают значения 1, 2, ..., п, соответствующий -кратный индекс пробегает значения от 1 до в нормальном порядке. Получим тогда -мерную