Дискретно-непрерывная математика (стр. 41 )

Упражнение. Доказать предыдущий результат. Использовать неравенства (22.1.27), записанные для положительного собствен­ного вектора х.

22.1.33. Следствие. Пусть Предположим, что мат­рица А неотрицательна, и рассмотрим степени Если А имеет положительный собственный вектор х, то для всех и для всех

(22.1.34)

В частности, если то элементы матрицы

равномерно ограничены при

Доказательство. Пусть Тогда

Если то и Для всех

Чтобы получить искомую верхнюю оценку, нужно выполнить де­ление, и это можно сделать, так как х>0. Аналогично для всех

Так как х>0, можно выполнить деление, после чего получаем искомую оценку.

22.2. Положительные матрицы

Теория неотрицательных матриц приобретает простейшую и наиболее элегантную форму для положительных матриц. Имен­но к этому случаю относятся фундаментальные результаты, по­лученные в 1907 г. О. Перроном.

22.2.1. Лемма. Пусть и предположим, что А > 0,

и Тогда и

Доказательство. Находим

так что Поскольку и

согласно (22.1.14), Следствие 22.1.25 также гарантирует, что Поэтому если у = 0, то и

Если положим и,

вновь согласно (22.1.14), получаем

откуда, опираясь на следствие 22.1.29, выводим неравенство которое выполняться не может. Значит, у =0, что и требовалось доказать.

На базе этого утверждения технического характера мы лег­ко установим первый принципиальный результат, относящийся к положительным матрицам.

22.2.2. Теорема. Пусть и предположим, что А поло­жительна. Тогда — собственное значение для А и существует положительный вектор х, такой, что

Доказательство. Рассмотрим собственное значение λ, такое, что и отвечающий ему собственный вектор По лемме искомым вектором будет

Упражнение. Используя следствие 22.1.31, доказать, что если и А > 0, то

Несколько усилив утверждение леммы 22.2.1, можно продви­нуться в изучении расположения собственных значений мат­рицы А.

22.2.3. Лемма. Пусть и предположим, что А > 0,

и Тогда для некоторого имеем

e-iθx = |x|>0.

Доказательство. Согласно условиям леммы,

и по лемме 22.2.1 и . С уче-

том этих двух равенств и неравенства треугольника для всех находим. ,

Таким образом, в неравенстве треугольника достигается равен­ство, и, следовательно, комплексные (ненулевые) числа акрхр расположены в комплексной плоскости все на одном и том же луче. Обозначив их общий аргумент через 0, получаем для всех р = 1, ..., п. Поскольку для всех k, p, имеем

22.2.4. Теорема. Пусть матрицаположительна. Тогда любое собственное значение удовлетворяет неравен­ству

Доказательство. По определению для всех собственных значений λ матрицы А. Предположим, что и Согласно лемме 22.2.3, где

для какого-то Отсюда, опираясь на следствие 22.1.30, получаем.

Теперь мы знаем, что если А > 0, то является собственным значением для матрицы A, которое по модулю строго больше, чем любое другое ее собственное значение. Следую­щий результат утверждает, что есть собственное значе­ние геометрической кратности 1 (т. е. собственное подпростран­ство, отвечающее имеет размерность 1). В действительности вскоре мы увидим, что и его алгебраическая кратность также равна 1.

22.2.5. Теорема. Пусть и предположим, что А > 0, а векторы w, r ненулевые и такие, что

Тогда для какого-тоимеем

Доказательство. Согласно лемме 22.2.3, существуют вещест­венные числа такие, что 0 и Положим и образуем вектор Заме­тим, чтои хотя бы одна из координат вектора r равна 0, так что r не является положительным вектором. В то же время