Дискретно-непрерывная математика (стр. 36 )

9. В теореме 18.1.7 было установлено, что матрицатогда и только тогда представима в виде произведения двух эрмитовых матриц, когда она подобна вещественной матрице. Пользуясь теоремой 21.6.3, показать, что матрица тогда и только тогда является произведением двух положительно оп­ределенных эрмитовых матриц, когда она диагонализуема и имеет только положительные собственные значения. Указание. В доказательстве достаточности условия использовать равенства

10. Если матрицыположительно определены, то, как мы знаем, для положительной определенности матрицы АВ необходимо и достаточно, чтобы она была эрмитовой. Пока­зать, что это же верно для произведений трех положительно определенных матриц, т. е. для положительной определенности произведения S=ABC положительно определенных матриц необходимо и достаточно, чтобы S была эрмито­вой матрицей. Указание. Представить S в виде согласно задаче 9, все п собственных значений матрицы Е поло­жительны. Из теоремы 21.6.3 вывести, что в случае, когда мат­рица S эрмитова, число положительных собственных значений у S и у одинаково.

11. Заполнить пробелы в следующем эскизе другого доказа­тельства утверждения задачи 10. Пусть

Если матрица эрмитова, то и все матрицы эрмитовы, поскольку эрмитовость матрицы очевидна. Из невырожденности матриц вывести невырожденность матрицы Собственные

значения последней непрерывно зависят от α; привсе они

положительны, и ни одно не может обращаться в нуль (при) вслед­ствие того, что невырожденна. Сделать отсюда вывод о положительности всех собственных значений матрицы

Задачи к п.21.7.

1. Пусть —эрмитовы матрицы с упорядоченными собственными значениями соответственно

и Если то

Показать на примере, что утверждение, обратное этому, не

всегда верно.

2. Пусть —эрмитовы матрицы. Пока­зать, что из и следует

3. Пусть — эрмитовы матрицы, причем и Показать, что

4. Пусть — эрмитовы матрицы, и пусть

и Используя предыдущую задачу, показать, что

5. Пусть —эрмитовы матрицы, причем . Пусть — произвольное множество индексов. По­казать, что

6. Показать, что теорема 21.7.6 есть обобщение теоремы 21.2.5 для п=2.

7. Что дает теорема 21.7.6 в случае Как окаймить по­ложительно определенную матрицу строкой и столбцом и при этом сохранить положительную определенность?

8. Обозначим через подматрицу, получаемую уда­лением из Р строк и столбцов, номера которых принадлежат соответственно множествам S и S'. Показать, что неравенство (21.7.8) тогда и только тогда будет строгим, когда имеет полный строчный ранг; равенство в теореме 21.7.8 имеет место только в случае

Указание. Показать, что rank

9. Пусть —эрмитова матрица. Показать, что нера­венство равносильно тому, что все собственные значения матрицы А не превосходят 1.

10. Используя теорему 21.7.7, дать другое решение задачи 11 из § 21.4. Указание. Показать, что если то

11. Положим в теореме 21.7.7 А=С. Показать, что следую­щие утверждения эквивалентны:

12. Пусть —обратимая симметричная матрица. По­казать, что все строчные суммы матрицы равны 1. (Ука­зание. Использовать формулы, выражающие элементы матрицы А-1 через алгебраические дополнения элементов матрицы А.) Вывести отсюда, что для вещественной и положительно опреде­ленной матрицы А неравенство не может иметь ме­ста, хотя

13. Пусть А(k) обозначает k-ю адамарову степень матрицы А. Показать, что в случае положительно определенной матрицы справедливы неравенства для всех K=1, 2,…

Задачи к п. 21.8.

1. Согласно неравенству из следствия 21.8.2, абсолютная ве­личина определителя ограничена произведением l2-норм его строк. Сравнить это утверждение с результатом задачи 3 из § 20.1: абсолютная величина определителя не превосходит про­изведения l1-норм его строк. Каков геометрический смысл каж­дой из этих оценок? Существуют ли другие оценки такого рода? Проверить случай -нормы.

2. Левая часть неравенств из следствия 21.8.2 инвариантна относительно умножения В слева на унитарные матрицы, ле­вая часть неравенства из теоремы 21.8.1 инвариантна относителыю преобразования унитарного подобия матрицы А, однако правые части соответствующей инвариантностью не обладают. Когда достигаются минимумы правых частей? Когда макси­мумы? Нельзя ли этим путем получить лучшие оценки?

3. Используя неравенство Фишера, проверить следующее блочное обобщение неравенства Адамара из следствия 21.8.2: пусть — комплексная матрица порядка nk, разбитая на блоки таким образом, что каждый блок, имеет размер В таком случае