Дискретно-непрерывная математика (стр. 146 )

проективно эквивалентный пучку (2.2).

Форма F будет тогда одной из следующих канонических форм (см. таб­лицы I и III § 1 гл. V):

(I)

(II)

(III)

В соответствии с этим различаем три типа пучков с наивысшей характеристикой.

2. Пусть

(I)

Соответствующая пучку (2.3) полиномиальная матрица

где II — матрица формы — матрица формы Ф, порождает кубические миноры 3-го порядка, представляемые следующими выражениями:

где черезобозначены формы l-й степени от не содержащие

Так как все эти миноры, кроме делятся на μ, то для того, чтобы их наибольший общий делитель был кубической формой от а следовательно, пучок (2.3) имел наивысшую характеристику, необ­ходимо, чтобы все они, кроме тождественно равнялись нулю.

Поэтому

и пучок (2.3) имеет вид

(2.4)

Здесь возможны следующие три случая.

Случай I. Срединет равных.

Тогда, полагая в пучке (2.4) последовательно

(2.5)

получим формы

где

Принимая эти формы за базис, мы можем представить пучок (2.4) в виде

(2.6)

Подвергнем матрицу пучка (2.6) операции

Получим тогда канонический пучок

(2.7)

где

отлично от 0 и — 1.

Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей пучка (2.7), тождественно равны нулю, кроме минора

Следовательно, их наибольший общий делитель

Кубические миноры 2-го порядка, порождаемые той же матрицей, имеют, кроме значений, тождественно равных нулю, также значения, равные

Поэтому их наибольший общий делитель

Таким образом, элементарные делители пучка (2.7) равны

и его характеристика — .

Относительные инварианты пучка (2.7) имеют вид

откуда заключаем, что могут обращаться в нуль лишь одновременно, и это будет тогда и только тогда, когда или или

Соответствующие этим значениям параметров формы пучка (2.7) пропорциональны формам

причем

При всех остальных значениях параметров имеем:

(2.8)

Обращаясь к геометрической интерпретации пучка кубических трой­ничных форм (2.7), видим, что соответствующий пучок плоских линий 3-го порядка состоит из эквиангармонических линий и трех троек прямых, пере­секающихся в одной точке (см. таблицы I и III гл. V). Точки пересечения прямых в каждой тройке отличны одна от другой, а также и от точек, общих всем линиям пучка. Эти общие точки, число которых равно девяти, расположены по три на прямых каждой тройки.

Случай II. Среди имеется пара равных.

Пусть, например Давая тогда в пучке (2.4) параметрам значения (2.5), получим две формы этого пучка:

(2.9)

Принимая их за базис, приходим к каноническому пучку

(2.10)

Для соответствующей матрицы имеем:

а потому элементарные делители пучка (2.10) равны и его характеристика [(11)1].

Вместе с тем находим:

откуда следует, чтомогут обращаться в нуль лишь одновременно, именно тогда и только тогда, когда или Из пучка (2.10) при этих значениях параметров получаем формы (2.9), причем

При значениях отличных от нуля, выполняется условие (2.8).

Следовательно, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий пучку кубических тройничных форм (2.10), состоит из эквиангармонических линий, тройки пересекающихся в одной точке прямых и тройки совпадаю­щих прямых.

Все линии пучка имеют три общие точки. Каждая из этих точек есть точка соприкасания всех нераспадающихся линий пучка. Все три точки лежат на тройной прямой пучка; касательными в этих точках являются прямые первой тройки, точка пересечения которых отлична от точек, общих всем линиям пучка.

Случай III.

Тогда пучок (2.4) можно представить в каноническом виде

(2.11)

Его характеристика будет причем выполняется условие (2.8) при всех значениях параметров для которых Все формы пучка попарно линейно зависимы, и представляемые ими линии сливаются в одну эквиангармоническую линию.

3. Пусть, далее,

(II)

Соответствующая пучку (2.3) полиномиальная матрица

порождает кубические миноры 3-го порядка, представляемые выражениями

Так как все эти миноры, кромеделятся на μ, то их наи­больший общий делитель будет кубической формой от λ, μ только тогда, когда все они, за исключением тождественно равны нулю. Поэтому

и пучок (2.3) будет иметь вид

(2.12)

Будем различать два случая: когда и когда