Дискретно-непрерывная математика (стр. 35 )

Исследовать ситуацию при

8. Используя задачу 7 и теорему о произведении Шура, по­казать, что (поточечное) произведение положительно полуопре­деленных интегральных ядер само положительно полуопреде­лено. Этот способ доказательства сравнительно элементарен и не требует применения теоремы Мерсера из теории интеграль­ных уравнений.

9. Показать, что для положительной определенности функ­ции (см. определение в задаче 8 из 21.1) необхо­димо и достаточно, чтобы интегральное ядро было положительно полуопределено.

10. Показать, что произведение положительно определенных функций будет положительно опре­деленной функцией.

11. Объяснить, почему функции

и всевозможные их попарные произведения положительно опре­делены.

12. Используя результат задачи 11 (с), дать другое доказа­тельство положительной определенности матрицы из задачи 12 21.2.

13. Показать, что для положительно полуопределенной мат­рицы матрица также положительно полуопределена. Указание. Использовать задачу 17 21.1.

14. Пусть —положительно полуопределенная мат­рица. Показать, что для вектора равенство равносильно тому, что Ах = 0. Привести пример незнакоопределениой эрмитовой матрицы А и вектора х, таких, что ноУказание. Если привлечь спектральное разложение матрицы то равенство переходит в

где

15. Выпуклым конусом (с вершиной в точке 0) называется выпуклое множество S, содержащее вместе с каждым весь луч Луч называется крайним, если представление где и

возможно лишь для у и z, лежащих на том же луче; другими словамн, луч выпуклого конуса является крайним, если при его удалении оставшийся конус сохраняет выпуклость. Показать, что в выпуклом конусе положительно полуопределенных матриц из Мn луч тогда и только тогда является крайним лучом, когда матрица А имеет ранг 1. Теперь теорему 21.5.2 можно переформулировать так: всякая положительно полуопре­деленная матрица есть выпуклая комбинация матриц, лежащих на крайних лучах.

Указание.

(а) Пусть х — ненулевой вектор из и пусть для некоторого числа и положительно полуопределенных матриц Пусть

— ортонормироваыный базис, в котором для Тогда т. е., согласно задаче 14, каждый вектор xk, k = 2, ..., п, принадлежит и ядру матрицы А, и ядру матрицы В. Вывести отсюда, что обе матрицы А, В имеют ранг 1 и являются положительными кратными матрицы хх*.

(b) Если —положительно полуопределенная матрица ранга то, пользуясь теоремой 21.5.2, представить ее в виде где и Сделать отсюда вывод о том, что С не кратна В и, следовательно, А не принадлежит крайнему лучу.

Задачи к п.21.6.

1. Пусть матрица удовлетворяет соотношению

где матрица положительно определена. Показать, что А диагонализуема и все ее собственные значения вещественны. Указание. Рассмотреть равенство Показать, что AS — эрмитова матрица, и применить теорему 21.6.3.

2. Показать, что на множестве положительно определенных матриц функция строго выпукла. Указание. См. доказательство теоремы 21.6.7.

3. Какую форму примет обобщение теоремы 21.6.3 на случай положительно полуопределенной матрицы Показать, что собственные значения матрицы АВ все еще являются веще­ственными и положительных (отрицательных) среди них не больше, чем у В. Однако число нулевых собственных значений матрицы АВ может возрасти по сравнению с В.

4. Можно ли обобщить теорему 21.6.3 на случай неэрмитовой матрицы

5. Показать на примере, что две эрмитовы матрицы могут быть одновременно диагонализованы преобразованием конг­руэнтности, хотя условия теоремы 21.6.4 нарушены.

6. Пусть А, В — эрмитовы матрицы из М2. Что можно ска­зать о знаках вещественных частей собственных значений мат­рицы АВ, если известны знаки собственных значений матриц А и В? Обобщаются ли полученные результаты на матрицы из Мп?

7. Пусть —эрмитовы матрицы и А положительно определена. Используя следствие 21.6.5, показать, что для по­ложительной определенности матрицы А+В необходимо и до­статочно, чтобы каждое собственное значение матрицы А-1В было больше, чем —1. Указание.

8. Представим эрмитову матрицу в виде

Где Проверить, что А симметричная, а В — косо-

симметричная матрицы; таким образом, собственные значения матрицы В чисто мнимые и расположены сопряженными па­рами. Показать, что для положительной определенности мат­рицы Н необходимо и достаточно, чтобы А была положительно определена и каждое собственное значение матрицы превосходило — 1. (Указание. Использовать то, что для всех применить результат задачи 7. В случае положительно определенной матрицы А показать, что если λ — соб­ственное значение матрицы то —также собственное значение. Вывести отсюда, что положительная определенность матрицы Н равносильна тому, что А положительно определена и все собственные значения матрицы находятся в интер­вале (—1,1), причем расположены парами Затем вы­вести неравенства и как следствие (Робертсон). Пользуясь представлением и его следствием показать, что для положительно определенной матрицы И вы­полняются неравенства Сделать отсюда вывод о справедливости неравенства (Таусски), В теореме 21.8.7 и задаче 7 § 21.8 дан вариант этих неравенств, справедливый для любых комплексных матриц