Дискретно-непрерывная математика (стр. 2 )

Если квадратичная форма (21.0.1) неотрицательна во всех точках области D (а не только в критических точках функции f), то f — выпуклая функция в D. Это прямое обобщение из­вестной ситуации при п = 1.

Ковариационные матрицы

Пусть Х1, Х2, ..., Хп — вещественные или комплексные слу­чайные величины с конечными вторыми моментами на некото­ром вероятностном пространстве с функционалом ожидания Е, и пусть — соответствующие средние. Ковариационной матрицей случайного вектора называется матрица с элементами

Очевидно, что А — эрмитова матрица; легко проверить, что для любого вектора справедливы соотношения

В приведенных выкладках использованы линейность, однород­ность и неотрицательность функционала ожидания и только эти свойства. Неотрицательность означает, что для всякой неотрицательной случайной величины Y.

К тому же результату можно прийти, не прибегая к языку теории вероятностей. Пусть на вещественной прямой заданы се­мейство комплекснозначных функций и вещественнозначная функция g. Если все интегралы

имеют смысл и сходятся, то матрица очевидно, эрмитова. Несложно проверить, что

Следовательно, эта квадратичная форма будет всюду неотрица­тельна, если g(x) — неотрицательная функция.

Алгебраические моменты неотрицательных функций

Пусть f(x) — абсолютно интегрируемая на отрезке [0, 1] вещественнозначная функция. Рассмотрим числа

(21.0.2)

называемые моментами Хаусдорфа. Последовательность a0, a1, a2, … очевидным образом связана с вещественной квадратич­ной формой

(21.0.3)

Положим Эта матрица вещественна и симметрична, причем если для всехтокаков бы ни был векторЭто верно при каждом n = 1, 2..... Матрица такой структуры, как у А (элементы аij суть функции только от суммы индексов называется ганкелевой матрицей независимо от того, будет или нет неотрицательна ассо­циированная с ней квадратичная форма. См. раздел 14.9.8.

Тригонометрические моменты

Пусть f(x) — абсолютно интегрируемая на отрезке [0, 2π]

вещественнозначная функция. Рассмотрим числа

(21.0.4)

называемые моментами Тёплица. Последовательность

очевидным образом порождает квадратичную форму

(21.0.5)

Положим Эта матрица эрмитова, и если f(х)≥0 для всех то каков бы ни был вектор Это верно при каждом п=1, 2, .... Матрица такой структуры, как у А (элементы суть функции только разности индексов называется тёплицевой матрицей независимо от того, будет или нет неотрицательна связанная с ней квадра­тичная форма. См. раздел 14.9.7. Согласно теореме Бохнера, не­отрицательность квадратичной формы (21.0.5) есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы числа аk могли генери­роваться по формуле (21.0.4) или по слегка измененной формуле (21.0.4) (где неотрицательная мера замещает произведение

Дискретизация и разностные схемы для численного решения дифференциальных уравнений

Пусть имеется двухточечная краевая задача вида

Здесь — заданные вещественные константы, а и —

заданные вещественнозначные функции. Дискретизуем эту за­дачу, рассматривая только значения и заменяя производную разделенной разностью

Тогда мы получим систему линейных уравнений

В ней используются обозначения

Если включить краевые условия в первое (k = 1) и последнее (k = п) уравнения, то придем к си­стеме

которую можно записать в более компактной форме где

А — трехдиагональная матрица

(21.0.6)

Заметим, что А будет вещественной симметричной трехдиагональной матрицей независимо от того, какие значения прини­мает функция Однако если требуется сохранить разреши­мость системы для произвольной правой части, то нужно наложить на некоторые условия, обеспечивающие невырожденность матрицы А.

Легко построить ассоциированную с А вещественную квад­ратичную форму

Выражение, взятое в скобки, неотрицательно и равно нулю лишь тогда, когда все компоненты вектора х нулевые. Если то последняя сумма неотрицательна и

(21.0.7)

Если А вырожденна, то существует ненулевой вектор такой, что и, следовательно, Но тогда средняя группа членов в (21.0.7) должна обращаться в нуль, откуда сле­дует, что Итак, если то матрица А невырожденна и дискретная краевая задача разрешима при любых крае­вых условиях

Рассмотренная ситуация типична при численном решении дифференциальных уравнений, обыкновенных или с частными производными. Из соображений численной устойчивости желательно строить метод дискретизации дифференциальной задачи таким образом, чтобы он приводил к системе линейных урав­нений Ау=w с положительно определенной матрицей А. Если дифференциальные уравнения эллиптические, то обычно это удается сделать.