Дискретно-непрерывная математика (стр. 78 )

Рис. 11.

Таблица значений N в зависимости от сигнатуры детерминанта имеет следующий вид:

Таким образом, выражение

является членом детерминантов

а выражение

есть член детерминантов

Замечание 1.1. В дальнейшем мы будем говорить об элементах, се­чениях и строках детерминантов пространственной матрицы как о соответ­ствующих элементах, сечениях и строках этой матрицы.

24.2. Основные свойства детерминантов пространственной матрицы

1. Характер свойств детерминантов пространственной матрицы зависит от их рода. Гипердетерминант обладает свойствами, являющимися обобще­нием хорошо известных свойств обычного детерминанта. Смешанные же детерминанты и перманент наряду со свойствами, общими всем кодетерминантам, имеют многие своеобразные свойства, присущие им одним. Детер­минант с той или иной сигнатурой (в частности, перманент), число изме­рений которого можно предполагать каким угодно целым, большим двух, в дальнейшем будем называть многомерным.

Свойство I. Многомерный детерминант равен нулю, если одно из его сечений (простых) состоит из нулей.

Это очевидно, так как в каждый член многомерного детерминанта, у которого одно сечение (простое) состоит из нулей, входит один элемент из этого сечения.

Свойство II. Детерминанты пространственной матрицы А связаны с детерминантами транспонированной относительно А по двум каким-нибудь индексам, например матрицы следующими соотно­шениями:

где в каждом из равенств многоточиями заменены части сигнатур, ничем не отличающиеся друг от друга. Действительно, для каждой пары элементов р-мерных матриц п-го по­рядка А и имеем:

и все трансверсали транспонированной матрицы получающейся из А путем обмена соответственными сечениями ориентации (i1) и (i2),находятся среди трансверсалей исходной матрицы А. Наоборот, каждая трансверсаль матрицы А является трансверсалью матрицы Таким образом, каждый член данного детерминанта матрицы А будет иметь равный себе член среди членов детерминан­та матрицы обладающего такой же сигнатурой, как и данный детерми­нант, или отличающейся от нее лишь знаками над индексами i1 и i2, смотря по то­му, имеют ли индексы i1, i2 один и тот же или противоположный характер. Так как в каждом из рассматриваемых детерминантов все члены различны, а число их одно и то же, то эти детерминанты равны.

Следствие. Гипердетерминант и перманент не меняются при любом транспонировании их матриц.

Свойство III. От перестановки двух сечений (простых) одной и той же ориентации многомерный детерминант не меняется, если ориен­тация — неальтернативная, и только меняет знак, если ориентация — альтернативная.

В самом деле, трансверсали матрицы А', в которую переходит матрица

данного детерминанта при перестановке двух каких-нибудь сечений (простых) одной и той же ориен­тации, например, -го и -го сечений ориентации ничем не отличаются в своей совокупности от трансверсалей матрицы А. Возьмем какую-нибудь трансверсаль

матрицы А. Содержащаяся в ней пара элементов

занимает в преобразованной матрице А' положение, соответствующее поло­жению трансверсальной пары элементов

тогда как остальные элементы трансверсали занимают в матрице А' то же положение, как. и в матрице А. Таким образом, члену детерминанта мат­рицы А, составленному из произведения элементов рассматриваемой транс­версали и дополнительного множителя (— 1)N, определяемого сигнатурой детерминанта, соответствует член косигнатурного детерминанта матрицы А', составленный из произведения тех же элементов и дополнительного множи­теля где N' определяется той же сигнатурой и имеет ту же чет­ность, как и N, или противоположную ей, в зависимости от того, будет ли индекс i1 неальтернативным или альтернативным, (т. е. в зависимости от того, будет ли сигнатура иметь вид так как только перестановки, образуемые значениями индекса i1 в элементах обоих членов, различны и, переходя друг в друга транспозицией имеют противоположные четности. В первом случае эти члены, а следовательно, и содержащие их детерминанты, равны, а во втором случае лишь отличаются знаком.

Следствие. От перестановки двух сечений (простых) одной и той же ориентации перманент не меняется, а гипердетерминант лишь меняет знак.

Следующие два свойства очевидны, если принять во внимание свойство III.

Свойство IV. Многомерный детерминант не меняется от одинако­вого числа перестановок сечений (простых) каждой ориентации.

Свойство V. Если в многомерном детерминанте два сечения (прос­тых) одной и той же ориентации одинаковы, то этот детерминант будет равен нулю, если ориентация — альтернативная, и не будет необходимо равным нулю, если ориентация — неальтернативная.

Следствие. Гипердетерминант, у котороео два сечения (простые) одной и той же ориентации одинаковы, равен нулю.

Свойство VI. Если все элементы какого-либо сечения (простого) в многомерном детерминанте умножить на некоторое число, то сам де­терминант умножится на это число.

Действительно, пусть все элементы некоторого сечения (простого) в многомерном детерминанте умножены на число t. В каждый член детер­минанта должен войти сомножителем один элемент рассматриваемого сече­ния, а следовательно, и число t, т. е. сам детерминант умножается на t.

Это свойство допускает и такую формулировку: общий множитель всех элементов какого-либо сечения (простого) в многомерном детерминанте можно вынести за знак детерминанта.

Свойство VII. Если в многомерном детерминанте два сечения (простые) одной и той же ориентации пропорциональны, то этот детер­минант будет равен нулю, если ориентация — альтернативная, и не будет необходимо равным нулю, если ориентация — пеальтернативная.

В самом деле, пусть в рассматриваемом многомерном детерминанте элементы некоторого сечения (простого) какой-нибудь ориентации отличаются от соответственных элементов другого сечения той же ориентации одним и тем же множителем t. Вынося тогда, согласно свойству VI, общий мно­житель t за знак детерминанта, мы получим детерминант, у которого два сечения (простые) одной и той же ориентации одинаковы и к которому, следовательно, применимо свойство V.

Следствие. Гипердетерминант, у которого два сечения (простые) одной и той же ориентации пропорциональны, равен нулю.

Замечание 2.1. Свойство V, а также свойство I являются, очевидно, частными случаями свойства VII.

2. До сих пор мы рассматривали многомерные детерминанты с одно­членными элементами. Обратимся теперь к рассмотрению многомерных де­терминантов с многочленными элементами и установим принцип разложе­ния их на сумму детерминантов, элементы которых являются одночленами.

Свойство VIII. Если в р-мерном детерминанте п-го порядка каж­дый элемент некоторого сечения (простого) какой-нибудь ориентации, например v-го сечения ориентации (i1), представлен в виде алгебраической суммы некоторого числа h слагаемых, т. е.

то этот детерминант равен сумме h косигнатурных детерминантов, у которых все сечения ориентации (i1), кроме v-го, такие же, как и в дан­ном детерминанте, а v-е сечение в μ-м детерминанте состоит из элементов Действительно, при упомянутом выше условии член p-мерного детер­минанта п-го порядка