Дискретно-непрерывная математика (стр. 57 )

положим теперь, что все не принадлежат множеству М. Тогда найдется пара натуральных такая, что матрицы либо равны, либо отличаются друг от друга перестановкой строк. В любом из этих случаев матрица

не принадлежит множеству М, что противоречит условию теоремы, ибо для некоторого d матрица принадлежит множеству М.

Микромодуль 63.

Индивидуальные тестовые задания

Задачи к п.22.5

1. Записать доказательство теоремы 22.5.1.

2. Показать, что если матрица неотрицательна и при­митивна, то для всех Срав­нить этот результат со следствием 19.6.14. Нельзя ли опустить какую-либо часть из условия задачи?

3. Доказать, что если и то для всех Доказать, что если А примитивна, то примитивна для любого положительного целого k. Если А и В обе примитив­ные, то АВ может, однако, и не быть примитивной. Рассмотреть

4. Рассмотреть матрицу Виландта

и, анализируя Г (A), установить ее неразложимость и примитив­ность при всех Затем убедиться в том, что позиция (1,1) в содержит нуль и в то же время Указа­ние. Рассмотреть A как линейное преобразование, действующее на стандартный базис Далее,

5. Пусть матрица неотрицательна и неразложима. Доказать, что А примитивна, если хотя бы один ее диагональ­ный элемент положителен. Показать, что это достаточное усло­вие является необходимым при п=2 и не является таковым при

6. Пусть матрица неотрицательна и для какого-то Показать, что, какой бы ни была степень матрицы A, в ее позиции находится также положительный элемент. Если и в A2 позиция содержит положительный элемент, то будет элемент в этой позиции положительным в a3?

7. Разобраться в деталях метода сокращения вычислитель­ных затрат, предложенного в конце этого раздела.

8. Для любой идемпотентной матрицы a имеем

Доказать, что если A неотрицательна, неразложимаи идемпотентна, то она является положительной матрицей ранга 1.

9. Привести пример, с тем чтобы показать возможность су­ществования предела

и в том случае, когда матрица не является примитивной. На самом деле A может быть разложимой, а также у нее могут быть кратные собственные значения с максимальным модулем.

10. Доказать следующее частичное обращение теоремы 22.5.1: если для неотрицательной неразложимой матрицы су­ществуетто А примитивна. Указание. Если

11. Показать, что матрица неразложима, но A2 разложима. Противоречит ли это лемме 22.5.6?

12. Привести пример неразложимой неотрицательной матри­цы для которой не существует

13. Доказать, что если и матрица неотрица­тельна и неразложима, то матрица примитивна.

14. Неотрицательная матрица называется комбина­торно симметричной, если тогда и только тогда, когда

Доказать, что если А комбинаторно

симметрична и примитивна, то (Указание. Рассмотреть А2 и использовать лемму 22.5.6 и теорему 22.5.10.) Можно ли усилить оценку для учитывая дополнительную информацию о структуре циклов в Г (A)? Указание. Использовать тео­рему 22.5.8.

15. Показать, что если матрица неотрицательна, не­разложима и невырожденна и число п простое, то либо А при­митивна, либо все собственные значения матрицы А имеют оди­наковый модуль и А подобна сопровождающей матрице много­члена

16. Перронов вектор и спектральный радиус неотрицательной матрицы АМп можно вычислить с помощью степенного ме­тода, а именно:

x(0) — произвольный положительный вектор, такой, что

Доказать, что если А примитивна, то последовательность векто­ров х(т) сходится к (правому) перронову вектору матрицы А, а последовательность чисел

сходится к перронову корню матрицы А. Какова скорость сходимости? Необходимо ли предположение о примитивности?

17. Показать, что примитивность неотрицательной матрицы зависит лишь от расположения ее нулевых элементов, а не от того, каковы значения ненулевых элементов.

18. Доказать, что если матрица неотрицательна, не­разложима и симметрична, то А примитивна тогда и только тогда, когда невырожденна. В частности, это условие имеет место в случае положительно полуопределенной матрицы А. Симметричные неотрицательные матрицы с элементами, рав­ными 0 или 1, возникают естественным образом как матрицы смежности неориентированных графов.

19. Доказать, что если матрица примитивна и то