Дискретно-непрерывная математика (стр. 156 )

Это значит, что

и это минимальное значение достигается, когда т. е. при

Учитывая, что найдем, что оптимальное решение в смысле метода наименьших квадратов имеет вид

т. е. определяется той же формулой (С.2).

Пусть теперь и т. е. строки матрицы А линейно независимы. В этом случае уравнение (С.1) будет иметь бесконечное множество решений, так как, если х - решение, то - тоже решение для любого Среди всех решений выделим оптимальное в смысле минимума нормы, т. е.

Если разложить пространство в прямую сумму

то минимальное по норме решение будет иметь нулевую проекцию на подпространство Представим в соответствии с этим разложением и решим уравнение В силу того, что существует такой, что Следовательно, требуется решить уравнение .относительно ξ.

Так как по условию матрица обратима, его решение имеет вид ξ = (ААТ)-1b и, значит, Таким образом, решение уравнения (С.1) с минимальной нормой равно

(С.3)

Рассмотрим, наконец, общий случай, когда rank А=r < min(m,n). Будем искать минимальное по норме решение в смысле метода наименьших квадратов. Воспользуемся леммой А.6 и представим матрицу А в виде

(С.4)

где

(С.5)

Разложим пространствав прямые суммы

и представим

Так как

то оптимальные решения по методу наименьших квадратов удовлетворяют уравнению

(С.6)

а минимальное по норме из этих решений принадлежит

Из (С.5) следует, что где и Так как то с учетом того, что найдем

и тогда Представляя теперь в виде гдезапишем (С.6) как

Заменяя и умножая обе части этого уравнения слева навычислим и найдем оптимальное решение по методу наименьших квадратов минимальной нормы в виде

(С.7)

Матрица

(С.8)

является псевдообратной для матрицы А с разложением (С.4). По определению псев­дообратной для матрицы А называется такая матрица А+, которая удовлетворяет сле­дующим условиям:

Непосредственно проверяется следующее:

Таким образом, во всех рассмотренных выше случаях так называемые псевдорешения уравнения (С.1), имеющие минимальною норму среди всех векторов, минимизирующих норму отклонения между правой и левой частями этого уравнения, задаются формулой

Приложение D

Структурные системные свойства

Система

(D.1)

или, эквивалентно, пара (А, В) управляема тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

1. граммиан управляемости

является положительно определенной матрицей для любого t > 0;

2.

3.

rank (sI − A B) = nx , s C;

4. для произвольного симметричного относительно действительной оси множества пх комплексных чисел найдется матрица Θ такая, что спектр матрицы замкнутой системы. совпадет с указанным множеством;

5. для любого левого собственного вектора матрицы А, т. е. ненулевого вектора удовлетворяющего при некотором выполнено

Система (D.1) или, эквивалентно, пара (А, В) стабилизируема тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

1.

2. существует матрица Θ такая, что матрица замкнутой системы гурвицева;

3. все неуправляемые моды являются устойчивыми, т. е. из совместного выполнения условий и следует, что

Система

(D.2)

или, эквивалентно, пара (А, С) наблюдаема тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

1. граммиан наблюдаемости

является положительно определенной матрицей для любого t > 0;

2.

3.

4. для произвольного симметричного относительно действительной оси множества пх комплексных чисел найдется матрица Θ такая, что спектр матрицы совпадет с указанным множеством;

5. для любого правого собственного вектора матрицы А, т. е. ненулевого вектора удовлетворяющего при некотором выполнено