Дискретно-непрерывная математика (стр. 31 )

21.7.2. Утверждение. Пусть — эрмитовы матрицы. Для любой матрицы из следует

Если и имеет ранг т, то из следует

Доказательство. Если матрица А — В положительно полу­определена, то для всех Поэтому

при любомчто

в свою очередь означает положительную полуопределенность матрицы следовательно, Заметим, что данное утверждение обобщает утверждение 21.1.6, да и дока­зательство по существу то же самое.

Упражнение. Завершить доказательство проверкой второго утверждения.

21.7.3. Теорема. Пусть — эрмитовы матрицы, при­чем А положительно определена, а В положительно полуопре­делена. Тогда неравенство эквивалентно условию а неравенство — условию

Доказательство. Согласно следствию 21.6.5, найдется невы­рожденная матрица такая, чтогде Поэтому неравенство рав­носильно положительной полуопределенности матрицы С(І—D)C*, для чего необходимо и достаточно, чтобы для всех і = 1,2 ... . Так как то собственные значения матрицы суть в точности числа Согласно теореме 21.6.3, все они неотрицательны, и требование, чтобы все di не превосходили 1, равносильно условию Второе утверждение устанавливается путем тщательного исследования использованных неравенств.

21.7.7.4. Следствие. Пусть матрицы положительно

определены. Тогда

(a) в том и только в том случае, когда

(b) если то и

(c) более общо, еслии упорядочить собственные зна­чения обеих матриц А и В одинаковым образом (по возраста­нию или убыванию), то для всех

Доказательство. Мы знаем, что неравенство равносильно условию Но и теперь теорема 21.7.3 говорит, что условие равносильно неравенству

Если то так как, согласно теореме 21.6.3, все собственные значения матрицы неотрицательны, они должны принадлежать интервалу (0,1]. Но тогда их произведе­ние не превосходит 1, т. е. а потому В доказательстве теоремы 21.7.3 были использованы представления где

для всех i = l,2, ..., п.. Легко проверить, что

и

Последнее утверждение (содержащее в себе неравенства для определителей и следов, которым мы дали независимые доказательства) является прямым следствием вариационной ха-рактеризации Куранта — Фишера для упорядоченных собствен­ных значений эрмитовой матрицы. Оно покрывается следствием 18.3.3.

Упражнение. Пусть Показать, что и

Представление (0.7.3) для матрицы, обратной к блочной матрице, будучи специализировано для эрмитова случая, приводит к следующей полезной формуле:

(21.7.5)

Здесь предполагается, что матрицы А и С квадратные и все об­ращаемые матрицы невырожденны.

Если матрица положительно определена, то обратная к ней существует и тоже положительно определена. Тогда из (21.7.5) и утверждения 21.1.2 следует, что матрицы и положительно определены. Точно так же положительно определены матрицы А и С.

Таким образом, если рассматриваемая блочная матрица поло­жительно определена, то

21.7.6. Теорема. Пусть эрмитова матрица Н представлена в блочном виде:

причем матрицы А и С квадратные. Для положительной опре­деленности матрицы Н необходимо и достаточно, чтобы А была положительно определенной и выполнялось неравенство Это условие равносильно тому, что 1.

Доказательство. Необходимость условия теоремы уже уста­новлена. Пусть теперь А положительно определена и Полагая находим

Поскольку правая часть положительно определена, то положи­тельная определенность матрицы Н вытекает из свойства вы­писанной конгруэнтности и утверждения 21.1.6 или 21.7.2. До­казательство завершается применением теоремы 21.7.3 к нера­венству

Упражнение. Пусть Показать, что

и Что можно сказать

о случае Показать, что если В — квадратная матрица.

Упражнение. Пусть и матрицы А, С

положительно определены. Показать, что неравенство

равносильно условию

Блочная положительно определенная матрица из теоремы 21.7.6 связана с некоторыми билинейными неравенствами, воз­никающими в теории функций комплексного переменного и в гармоническом анализе; эти неравенства разделяют отдельные свойства частичного упорядочения, индуцированного положи­тельной определенностью.