Дискретно-непрерывная математика (стр. 14 )

21.4.3. Пример. Предположим, что нужно решить систему ли­нейных уравнений где и заданы и А имеет ранг k. Пусть —сингулярное разложение мат­рицы А. Тогдаили

(21.4.4)

Если то последние т — k строк матрицы Σ нулевые. Поэтому для существования решения необходимо (и доста­точно), чтобы последние т—k компонент вектора V*b равня­лись нулю. Итак, при т>k система Ах= b разрешима в том и только в том случае, если вектор b ортогонален последним т — k левым сингулярным векторам матрицы А. Пусть b удов­летворяет этому условию совместности, и пусть Тогдаиз (21.4.4) следует, что

Таким образом, вектор

(21.4.5)

есть решение данной системы. Поскольку для всех j > k, то любая линейная комбинация последних п — k (если п > k) правых сингулярных векторов матрицы А принад­лежит ядру этой матрицы, а потому вектор

будет решением системы Ах=b при любых разумеется, при п = k эта последняя сумма отсутствует. По­скольку векторы ортонормированы, решение с минималь­ной евклидовой длиной получается, когда все сi равны 0. Отме­тим, что последние т — k левых сингулярных векторов матрицы А образуют базис ядра матрицы АА*, совпадающего с ядром матрицы А*. Поэтому требование, чтобы вектор b был ортогона­лен к последним т — k левым сингулярным векторам матрицы A, равносильно тому, чтобы потребовать ортогональности b к любому решению системы

Упражнение. Если не все из последних т — k компонент век­тора V*b равны нулю, то система Ах b несовместна, и реше­ний нет вообще. Однако для ряда целей можно удовлетвориться нормальным псевдорешением, т. е. вектором минимизирующим и при этом имеющим наименьшую возможную евклидову длину. Показать, что формула (21.4.5) дает нор­мальное псевдорешение.

21.4.6. Пример. Пусть —заданная матрица. Каково

будет наилучшее среднеквадратичное приближение к А среди матриц, отличающихся от унитарных разве лишь скалярными множителями? Вспомним, что l2-норма на Мп порождается ска­лярным произведением и что для унитарной матрицы U

Еслии—-унитарная матрица, то

Минимум этого выражения (при фиксированной матрица U.) достигается для и, следовательно,

Если положить

(21.4.7)

то получим величину, аналогичную численному радиусу r(А), только максимум скалярного произведения в последнем случае брался не по унитарным матрицам, а по всем эрмитовым мат­рицам ранга 1, имеющим единичную евклидову норму. Однако в отличие от численного радиуса функция является матричной нормой на Мп.

Легко определить значение а также экстремальную

унитарную матрицу. Пусть—сингулярное разложение матрицы А. Тогда

Если — полярная форма матрицы А, то

Таким образом, полученная нами верхняя оценка для и(А) до­стижима и а наилучшее средне­квадратичное приближение матрицы А кратным унитарной мат­рицы дается формулой

Здесь U — унитарная матрица из полярной формы А = PU мат­рицы А, а—сингулярные числа матрицы А. Если из­вестно сингулярное разложение то Ошиб­ка приближения равна

и обращается в нуль только тогда, когда неравенство Коши—Шварца

на самом деле является равенством. Итак, матрица А может быть идеально аппроксимирована кратным унитарной матрицы лишь в том случае, если все ее сингулярные числа равны между собой.

21.4.8. Пример. Пусть заданы матрицы и желательно выяснить, нельзя ли получить А посредством «вращения» матрицы В, т. е. не будет ли А=UВ для некоторой унитарной матрицы Более общо, если рассмотреть всевозможные «вращения» UB заданной матрицы В, то насколько хорошо ими можно аппроксимировать матрицу А в смысле наименьших квадратов? Эта задача известна в факторном анализе как за­дача отыскания «прокрустова преобразования» матрицы В.

Вычисления очень схожи с тем, что было в предыдущем примере. Нужно выбрать U так, чтобы минимизировать как и выше, находим, что

Таким образом, следует искать унитарную матрицу U, макси­мизирующую функцию Если. — сингулярное разложенце матрицы АВ*, то

Здесь—унитарная матрица. Максимум этой

суммы достигается, когда все т. е. когда ­

Матрица VW* — это просто унитарный сомножитель в полярном разложении матрицы АВ*.

Итак, для матрицы наилучшее среднеквадратичное приближение вида UB, где а—унитарная матрица, определяется формулой Матрицы V, W входят в сингулярное разложение матрицы АВ*; можно использовать и полярное разложение таким образом, знать V и W по отдельности нет нужды. Ошибка аппрок­симации равна

где — множество сингулярных чисел матрицы АВ*.

Пусть нужно выяснить, будет ли А точным вращением мат­рицы В. Очевидно, что необходимым условием этого является равенство необходимые и достаточные условия имеют вид (сноваобозначает множество сингулярных чисел матрицы АВ*)