Дискретно-непрерывная математика (стр. 83 )

Полученный в результате этих перестановок косигнатурный детерминант будет равенгде

В этом новом детерминанте, по доказанному, алгебраическая сумма его чле­нов, содержащих все члены миноров М и М', равна ММ'. Следовательно, в исходном детерминанте алгебраическая сумма членов, содержащих в своей совокупности все члены миноров М и М', равна или на основании равенства (3.21)

(3.27)

т. е. равна произведению минора М на его алгебраическое дополнение

Доказательство леммы для остальных кубических кодетерминантов аналогично.

Из леммы 3.2 вытекает правило разложения любого детерминанта куби­ческой матрицы по заданной совокупности его сечений какой-либо ориен­тации.

Действительно, так как минор v-гo порядка М расположен в v сече­ниях ориентации (i), а также в v сечениях ориентации (j) и в v сечениях ориентации (k), то, составляя выражения (3.27) для всех миноров v-гo порядка, расположенных в какой-нибудь одной из этих групп сечений, и складывая их, мы будем иметь сумму различных членов детерминанта Но число слагаемыхи этой сумме равно

т. е. равно числу членов детерминантаСледовательно, она является точным представлением этого детерминанта.

Аналогичные представления получим для остальных кубических коде­терминантов

Тем самым доказана соответствующая теореме Лапласа для обычных детерминантов

Теорема 3.5. Возьмем любой из детерминантов кубической матрицы п-го порядка и выделим в нем произвольносечений какойнибудь ориентации. Тогда сумма произведений всех миноров v-го порядка, расположенных в этих сечениях, на их алгебраические дополнения будет равна данному детерминанту.

Так, например, выделяя в нижеследующем кубическом детерминанте 4-го порядка первые два сечения ориентации (і) и составляя сумму произ­ведений всех миноров 2-го порядка, расположенных в этих сечениях, на их алгебраические дополнения, получаем:

Заметим, что теорема 3.3 есть частный случай доказанной теоремы, если в последней считать v = 1.

Из теоремы 3.5 вытекает соответствующая теореме Коши для обычных детерминантов

Теорема 3.6. Если в кубическом детерминанте порядка п все мино­ры v-го порядка, расположенные в каких-нибудь сечениях альтернативной ориентации, умножить на алгебраические дополнения соответствующих миноров, расположенных в других v сечениях (то есть в сечениях, из которых по крайней мере одно отличается от упомянутых выше v сечений) той же ориен­тации, и полученные произведения сложить, то сумма будет равна нулю (Зайончковский).

В самом деле, если в кубическом детерминанте п-го порядка мы заме­ним какие-нибудьсечений альтернативной ориентации дру­гими v сечениями той же ориентации, отличающимися от первых хотя бы одним сечением, то составленный таким образом косигнатурный детерминант будет иметь но крайней мере два одинаковых сечения альтернативной ориен­тации и потому, на основании свойства V многомерных детерминантов, будет равен нулю. Но этот же детерминант согласно теореме 3.5 равен сумме произведений всех миноров v-гo порядка исходного детерминанта, расположенных в упомянутых выше заменяющих v сечениях, на алгебраи­ческие дополнения в том же детерминанте соответствующих миноров, рас­положенных в заменяемых v сечениях. Таким образом, рассматриваемая сумма равна нулю.

Заметим, что теорема 3.4 есть частный случай доказанной теоремы, если в последней считать v = 1.

На основании теоремы 3.5 может быть доказана также следующая тео­рема, являющаяся обобщением теоремы для обычных детер­минантов.

Теорема 3.7. Любой из детерминйнтов кубической матрицы п-го порядка равен нулю, если равны нулю все его элементы, общие каким-нибудь α сечениям ориентации (і), β сечениям ориен­тации (j), γ сечениям ориентации (k), где имеют значения, заклю­чающиеся в ряде натуральных чисел 1, 2, ...,п и удовлетворяющие нера­венству

(3.28)

При доказательстве мы можем, очевидно, не нарушая общности, пред­полагать, что упоминаемые в теореме сечения, содержащие нулевые элементы кубического детерминанта n-го порядка, являются первыми α сечениями ориентации (i), первыми β сечениями ориентации (j), первыми γ сечениями ориентации (k) и что

α ≤β ≤γ ≤n.

Очевидно также, что при условии (3.28) сумма каждых двух из чисел всегда больше, чем п.

Выделим в рассматриваемом детерминанте первые α сечений ориентации (i) и покажем, что все его миноры порядка α, расположенные в этих сече­ниях, равны нулю. Тогда в силу теоремы 3.5 и сам детерминант будет ра­вен пулю.

Прежде всего ясно, что равны нулю миноры порядка α, образуемые элементами, общими первым β сечениям ориентации (j) и первым γ сече­ниям ориентации (k), поскольку все они состоят целиком из нулей. Точно так же равны нулю миноры порядка α, содержащие элементы, общие пер­вым β сечениям ориентации (j) и последним п - γ сечениям ориентации (k) или первым γ сечениям ориентации (k) и последним п — β сечениям ориен­тации (j), так как и меньше, чем α, вследствие чего в этих минорах по крайней мере одно сечение ориентации (k) или (j) состоит целиком из нулей.

Что касается миноров порядка α, содержащих элементы, общие послед­ним n —β сечениям ориентации (j) и последним п — γ сечениям ориентации (k), то и они будут равны нулю.

Действительно, в каждый такой минор входят, кроме упомянутых выше элементов, также нулевые элементы, общие сечениям из первых β сечений ориентации (j) и сечениям из первых γ сечений ориентации (k), где числа удовлетворяют неравенствам

Отсюда

и в силу неравенства (3.28) имеем:

(3.29)

Пусть

Тогда, выделяя в миноре те жесечений ориентации (j), составим из этих сечений миноры порядка которые все будут равны нулю, так как каждый из них вследствие неравенства вытекающего из неравенства (3.29), содержит по крайней мере одно сечение ориентации (k), состоящее целиком из нулей. Следовательно, на основании теоремы 3.5

К тому же результату придем путем аналогичных рассуждений в слу­чае, если

Микромодуль 66.

Идивидуальные тестовые задания

Упражнения к п. 24.1.

1. Найти число N всех сечений (простых и кратных) p-мерной матрицы п-го порядка.

2. Если в p-мерной матрице индексы прини­мают соответственно значения