Дискретно-непрерывная математика (стр. 84 )

При различных между собой, то матрица А, состоящая из элементов, образует параллелепипед р измерений. Говорят тогда, что А имеет поря­док Если все числаза исключением одного из них, оди­наковы, то матрица А называется расширенной или сжатой, смотря по тому, бу­дет ли число, отличное от остальных одинаковых чисел, больше или меньше последних. Доказать, что общее число всех сечений (простых и кратных) расширенной и сжа­той р-мерных матриц порядков и где равно 2N (см. упражнение 1).

3. Указать в матрице

а) все диагонали, б) все главные двумерные диагональные сечения, в) все главные трехмерные диагональные сечения.

4. Какой вид имеют: а) кубическая матрица 2-го порядка, симметрическая относи­тельно двух индексов i, j или i, k; б) симметрическая кубическая матрица 3-го порядка?

5. Четырехмерную матрицу 2-го порядка, симметрическую относительно двух пар индексов записать с помощью ее двумерных сечений, располагая послед­ние в виде квадратной симметрической клеточной матрицы, клетки которой—также сим­метрические матрицы.

6. Какой вид имеет кубическая матрица 2-го порядка, кососимметрическая относи­тельно двух индексов i, j или i, k?

7. Доказать, что кубическая матрица симметрическая относительно одной пары индексов и кососимметрическая относительно другой какой-либо пары индексов, будет нулевой матрицей.

8. Найти число различных элементов симметрической р-мерной матрицы п-го порядка,

9. Найти число одинаковых элементов симметрической р-мерной матрицы п-го порядка, у которых значения индексов представляют q различных чисел причем первое из них повторяется т1 раз, второе — т2 раз, ..., q-е —

mq раз

10. Найти число не равных нулю и отличных друг от друга не только по знаку элементов кососимметрической р-мерной матрицы п-го порядка.

11. Показать, что транспонированные кубические матрицы получа­ются из исходной матрицы поворотом на 180° всех ее сече­ний ориентации соответственно вокруг их главных диагоналей, а и получаются поворотом матрицы А вокруг ее главной диагонали соответственно на 120° и 240° влево, если смотреть вдоль главной диагонали в направлении возрастаю­щих индексов.

12. Построению теории кубических детерминантов можно придать наглядный харак­тер, пользуясь геометрически выраженным правилом определения знака любого члена детерминанта подобно тому, как это сделано для обычных детер­минантов. Будем называть трансверсальную пару элементов

(1.28)

кубической матрицы п-го порядка (1.2) положительно ориентированной в направлении (i), если отрезок, соединяющий точки плоскости с прямоугольными координатами (независимо от того, какая из этих точек принята за начало отрезка), образует с обеими осями координат либо острые, либо тупые углы; в противном случае пару (1.28) будем называть отрицательно ориентирован­ной в направлении (i). Пусть Ni есть число трансверсальных пар в трансверсали (1.6) матрицы (1.2), отрицательно ориентированных в направлении (i). Показать, что алгебраическая сумма выражений вида

составленных для всех трансверсалей матрицы (1.2), равна детерминанту Дать аналогичные определения детерминантов

13. Показать, что все детерминанты диагональной кубической матрицы п-го порядка равны произведению п диагональных элементов А111, A222, ... , Аппп.

14. Показать, что сумма чисел инверсий в перестановках, обра­зуемых значениями т каких-нибудь индексов в элементах некоторой трансверсали

р-мерной матрицы п-го порядка (1.3), имеет ту же четность, как и сумма

где т—какое-нибудь четное число, не превышающее р, а есть число пересечений графиков элементов рассматриваемой трансверсали между горизонталями

и

15. Показать, что число р-мерных кодетерминантов равно 2р-1 (т. е. числу диаго­налей их матрицы).

16. Построить диаграмму по элементам трансверсали

матрицы и при помощи ее найти тот член детерминанта

который содержит данные элементы.

17. Построить диаграмму по элементам трансверсали

матрицы

и при помощи ее указать, каким детерминантам наивысшего рода

принадлежат: а) член б) член

18. Будем рассматривать р-мерную матрицу п-го порядка (1.3) как некоторую р-мерную перестановку из пр элементов, причем всякую другую перестановку того же рода мы можем получить, лишь переставляя всеми способами в этой матрице сечения ориентации Показать, что:

а) число р-мерных перестановок из пр элементов равно (р+l)-мерному перманенту п-го порядка, у которого все элементы равны 1;

б) число р-мерных перестановок из пр элементов

у которых каждый элемент

не может занимать в р-мерной матрице п-го порядка (1.3) место, определяемое значениями его индексов, равно (р+l)-мерному перма­ненту п-го порядка, у которого диагональные элементы — нули, а все остальные равны 1.

Упражнения к п.24.2

1. Пусть матрица — транспонированная относительно матрицы соответственно подстановке Тогда детерминант матрицы А с сигнатурой равен детерминанту матрицы А' с сигнатурой где т—любое четное число, но превышающее р, а

и

— лишь разные записи одной и той же подстановки р-й степени, иначе говоря, любой детерминант матрицы А с той или иной сигнатурой σ равен детерминанту матрицы А' с сигнатурой, получающейся из σ с помощью подстановки S. Доказать.