Дискретно-непрерывная математика (стр. 96 )

где— символ Кронекера, равный 1 или 0 в зависимости от того, равны или не равны между собой i1 и v (Падуа).

21. Показать, что система уравнений

линейных относительно имеет решение

22. Обобщить результат упражнения 21 на систему уравнений

Упражнения к п.25.3

1. Если

и

то . Доказать.

2. Доказать равенства (3.8'), (3.8"), (3.8'"), последовательно умножая по одному из индексов кубическую матрицу на квадратную.

3. Если кубическая матрица n-го порядка —симметрическая относительно двух каких-нибудь индексов, например i, j, то произведение где а —квадратная матрица n-го порядка, есть кубическая матрица, симметрическая относительно тех же двух индексов i, j. Доказать.

4. Произведения каждого из детерминантов кубической матрицы n-го порядка А на детерминанты квадратных матриц того же порядка а, b, с представить в виде детерми­нантов с одночленными элементами.

5. Даны матрицы и

Показать, что

6. Показать, что квадратные матрицы n-го порядка на которые в случае подобного преобразования умножается по всем индексам р-мерная диагональная матрица Е, имеющая все диагональные элементы, равные единице, суть диаго­нальные матрицы п-го порядка, удовлетворяющие условию

или матрицы, получающиеся из этих диагональных матриц путем одновременных перестано­вок в них строк и столбцов, одних и тех же в каждой матрице (Ольденбургер)

7. Если матрица

-симметрическая (кососимметрическая) относительно индексов и — квадратная матрица n-го порядка, то произведение

представляет р-мерную матрицу п-го порядка, симметрическую (кососимметричсскую) относительно тех же индексов. Доказать.

8. Произведение р-мерного детерминанта п-го порядка, род которого не меньше на т квадратных детерминантов того же порядка равно косигнатурному детер­минанту р-мерной матрицы п-го порядка, полученной в результате последовательного умножения по т каким-либо альтернативным индексам матрицы данного р-мерного детерминанта на матрицы квадратных детерминантов, т. е.

Доказать.

9. Показать, что от перемены порядка следования матрица a, b в произведениях (3.10'), (3.16"), (3.16'") матрицы, выражающие эти произведения, транспонируются по индек­сам k4, k5.

10.Даны матрицы

Пока­зать, что

11. Показать, что произведение по всем индексам симметрической р-мериой матрицы n-го порядка на q-мерную матрицу того же порядка

равно симметрической p(q—1)-мерной матрице n-го порядка

и что в случае, когда р и q — четные, гипердетерминанты а этих матриц связаны соотношением

12. Применяя последовательно правило Кэли — Ганса, показать, что произведение v детерминантов порядка п, измерений и родов (не равных нулю) можно представить в виде детерминанта того же порядка с многочленными эле­ментами, число измерений которого

а род

Отметить случай равенства v детерминантов (Лека).

13. Применяя последовательно правило Скотта — Раиса, показать, что произведение v детерминантов порядка п, измерений и родов (из которых некоторые или даже все могут быть нулями) можно представить в виде детерминанта того же порядка с одночленными элементами, число измерений которого

а род

где μ — число умножений, при которых соединительные индексы перемножаемых детерминантов — альтернативные (Лека).

14. Произведение v р-мерных детерминантов наивысшего рода, имеющих один и тот же порядок, представить в виде -мерного детерминанта наивысшего рода (Гегенбауер).

15. Произведение v квадратных детерминантов одного и того же порядка предста­вить в виде -мерного детерминанта наивысшего рода (Эшерих).

16. Показать, что произведение 2v квадратных детерминантов п-го порядка может быть представлено 2v - мерным гипердетерминантом того же порядка с многочленными элементами (Кемпбелл).

17. Показать, что произведение квадратного перманента п-го порядка на 2v квадрат­ных детерминантов того же порядка может быть представлено (2v+l)-мepным детерми­нантом порядка п и рода 2v с многочленными элементами (Кемпбелл).

18. Показать, что произведение перманента квадратной матрицы на 2v–ю степень детерминанта этой матрицы можно представить в виде симметрического -мерного детерминанта рода 2v (Лекл).

19. Представить произведение перманента квадратной матрицы на квадрат детерми­нанта этой матрицы в виде симметрического кубического детерминанта. Дать пример.

20. Доказать, что

где А—симметрическая кубическая матрица а Х — одномерная матрица

Обобщить на случай формы любой степени (Саркар ).

21. Доказать, что

где

Упражнения к п.25.4

1. Показать, что матрица а'" (замечание 4.2) может быть представлена в виде про­изведения элементарных квадратных матриц n-го порядка у которых всеэлементы — нули, за исключением

2. Показать, что операция

над кубической матрицей равносильна конечной последовательности симметриче­ских элементарных преобразований по двум индексам i, j (по всем индексам i, j, k) этой матрицы.