Дискретно-непрерывная математика (стр. 12 )

приводят к сингулярному разложению матрицы А, в котором

Итак, сингулярными числами нормальной матрицы А яв­ляются модули ее собственных значений, столбцами матрицы V — собственные векторы матрицы А; столбцы матрицы W мож­но взять те же, что у V, но при этом умножить каждый на комплексное число с модулем 1, определяемое соответствующим собственным значением. Если А эрмитова, то все ее собствен­ные значения вещественны, и где считается, что Если А эрмитова и положительно полуопределена, то и

Одним из полезных приложений теоремы Шура 16.3.1 об уни­тарной триангуляризации было представление произвольной квадратной комплексной матрицы в виде предела последова­тельности матриц, у каждой из которых все собственные значе­ния различны. С помощью сингулярного разложения можно по­казать, что любую комплексную матрицу (квадратную или пря­моугольную) можно представить как предел последовательности матриц с различными сингулярными числами. Польза такого представления состоит в том, что сингулярное разложение мат­рицы, все сингулярные числа которой различны, в значитель­ной мере определяется единственным образом.

21.3.6. Следствие. Пусть — заданная матрица, а

— заданная норма на Для всякого 0 найдется матрица с различными сингулярными числами, такая, что

Доказательство. Предположим, что Пусть есть сингулярное разложение матрицы А. Рассмотрим матрицы

где Если все сингулярные числа матрицы А совпадают, то диагональные элементы матрицы разлчны при любом В противном случае выберем так, чтобы тδ было меньше наименьшей разности соседних сингулярных чи­сел. Тогда диагональные элементы матрицы снова будут раз­личными. В обоих случаях при Положим тогда при вследствие унитарной инвариантности евклидовой нормы. Поскольку все нормы на эквивалентны, доказательство закончено. При m > п рассуждения аналогичны. D

Существует простой прием, позволяющий переводить резуль­таты относительно собственных значений эрмитовых матриц в утверждения о сингулярных числах произвольных матриц.

21.3.7. Теорема. Пусть и Определим

матрицу формулой

(21.3.7)

Если — сингулярные числа матрицы А, то собственными значениями матрицы А являются числа и нулей.

Доказательство. Предположим, что Пусть — сингулярное разложение матрицы А. Представим S и V в виде

Здесь Положим Тогда матрица

будет унитарной, и прямым вычислением можно проверить ра­венство

Диагональный нулевой блок имеет размер Рассуждения в случае m < п аналогичны.

Упражнение. Пусть A — заданная матрица из Показать, что матрицы и имеют те же сингулярные числа, что и А. Показать, что сингулярные числа матрицы UAV, где U и V — унитарные матрицы, совпадают с сингулярными числами матрицы А. Показать, что для произвольного комплексного чис­ла с сингулярные числа матрицы сА получаются из сингуляр­ных чисел матрицы А умножением на

Теорема 21.3.7 дает возможность непосредственно получить результаты о возмущениях сингулярных чисел произвольных матриц из соответствующих результатов для эрмитовых матриц. Они показывают, что всякая матрица идеально обусловлена от­носительно задачи определения сингулярных чисел. Этот вывод нужно сравнить с теоремой 20.3.2 и следствием 20.3.4, а также с сопутствующим обсуждением чисел обусловленности. Обобщение следующих результатов на случай произвольных унитарно инвариантных норм дано в теореме 21.4.51.

21.3.8. Следствие. Пусть Положим и пусть Обозначим через син­гулярные числа матрицы А, а через сингу­лярные числа матрицы В. Тогда

Доказательство. Эти результаты являются аналогами соот­ветственно неравенств Вейля (теорема 18.3.1) (см. также упраж­нение, предшествующее теореме 20.3.5) и теоремы Виландта — Хофмана для эрмитовых матриц. Они непосредственно выте­кают из теоремы 21.3.7 и названных прототипов.

Упражнение. Провести подробное доказательство следствия 21.3.8. Что касается утверждения (а), см. задачу 36 из 19.6.

Для сингулярных чисел верны также разделительные нера­венства, вытекающие из разделительных свойств собственных значений эрмитовых матриц.

21.3.9. Теорема. Пусть задана матрица обозначим через матрицу, полученную из А удалением произвольного столбца. Пусть — сингулярные числа матрицы — сингулярные числа матрицы причем оба множества упорядо­чены по невозрастанию. В таком случае

Если вместо столбца удаляется строка матрицы А, то соот­ветствующие утверждения получатся, если сформулировать ука­занные утверждения для сопряженной матрицы А*.

Доказательство. Квадраты сингулярных чисел матрицы А суть собственные значения эрмитовой матрицы квадраты сингулярных чисел матрицы — это собственные значе­ния матрицы которая (при удалении в А столбца) является главной подматрицей в А*А. Разделительные неравен­ства следуют непосредственно из принципа вложения 18.3.15. Если в А удаляется строка, а не столбец, то нужно рассматри­вать матрицы и