Дискретно-непрерывная математика (стр. 132 )

Таким образом р, q, n зависят лишь от инвариантов и даже

только от одного инварианта І2, если так как тогда

В дальнейшем исследовании будем принимать во внимание дефект δ матрицы R0.

п° 1. Пусть

Тогда и дискриминант уравнения (2.5), который с точностью до числового множителя равен отличен от нуля.

Следовательно, уравнение (2.5) имеет три различных корня, которым соот­ветствуют три различных системы значений р, q, n, определяемых формулами (2.4). Подставляя любую из этих систем в матрицу (2.2) и подвергая послед­нюю операциям

где

мы получим соответственно двум значениям t две матрицы того же вида, в которых элементы р, q, n представляют остальные две из упомянутых выше систем. Таким образом, для канонического вида матрицы (2.2) можно взять систему значений р, q, n, определяемых в зависимости от любого корня уравнения (2.5). Соответствующая каноническая форма имеет вид

(5а)

Ее инвариант I может иметь любое значение, причем, если то а если то

п° 2. Пусть

Тогда или В обоих случаях дискриминант уравнения (2.5) равен нулю, так как

(2.6)

Следовательно, уравнение (2.5) имеет кратный корень. Значению п = 0 соответствует простой корень этого уравнения

тогда как значениямсоответствует двукратный корень

При этом, очевидно,

(2.7)

Таким образом, на основании формул (2.4) имеем в первом случае

(2.8)

а во втором случае

(2.8')

Легко, однако, убедиться, что матрица (2.2) при системе (2.8') значе­ний р, q, n может быть приведена аффинно-проективными преобразованиями к матрице того же вида, в которой элементы р, q, n, определяются форму­лами (2.8). Последнюю матрицу и примем за каноническую. Тогда соответ­ствующая каноническая форма будет иметь вид

причем кроме условий (2.6), (2.7) выполняется вследствие неприводимости формы также условие

(2.9)

Инвариант І может иметь те же значения, как и при Заметим,

что при будет Следовательно, А потому

Подставляя эти значения в матрицу (2.2) и подвергая ее операции

приведем ее к более простому виду, которому соответствует каноническая форма

(7а)

Присоединенная матрица С имеет тогда ранг

п° 3. Пусть Тогда и последняя из формул (2.4) дает (в уравнении (2.5) тогда и, следовательно, является его трехкратным корнем.)

Из первых двух формул (2.4) получаем:

В этом случае имеем для матрицы (2.2)

Следовательно,

Отсюда заключаем, что І может иметь любое значение, отличное от причем нулевое значение ввиду неприводимости формы возможно лишь при когда

Для неприводимой формы всегда кроме того, если

Полагая в матрице (2.2)

и совершая над ней операции

получим матрицу, которой соответствует каноническая форма

(8а)

Для нее

Полагая же и матрице (2.2) и подвергая ее тем те операциям, как и раньше, заменив только последнюю из них операцией

придем к матрице, которой соответствует каноническая форма

(9а)

с инвариантом І = 0.

Сложная квадратная матрица имеет тогда ранг

Вариант 2:

Тогда в матрице (2.1)и для нее имеем:

.

(В этом случае инвариантыобращаются в ∞.)

Если при этом то после операции

матрица будет иметь вид, которому соответствует приводимая каноническая форма

(10а)

Для нее

Переходя к общему случаю, когда форма f неприводима, составим для матрицы (2.1) квадратную матрицу

детерминант которой равен

С помощью элементарных преобразований R0 приводится к матрице

откуда заключаем, что дефект δ матрицы R0 может иметь три значения: 0, 1, 3.

Примем это во внимание в дальнейшем исследовании.

п° 1. Пусть

Тогда и матрица (2.1) операцией

приводится к виду