Дискретно-непрерывная математика (стр. 85 )

2. Непосредственным вычислением проверить, что:

3. Дать иллюстрацию свойств III и IV многомерных детерминантов, переставляяпараллельные сечения в детерминанте

4. Вычислить все кодетерминанты матрицы

5. Кодетерминанты матрицы

представить в виде суммы косигнатурных детерминантов с одночленными элементами.

6. Дать иллюстрацию свойства X многомерных детерминантов, составляя косигнатурные детерминанты матриц

7. Будем называть элемент кубического детерминанта четным или нечетным относительно какой-либо пары его индексов в зависимости от того, будет ли сумма этих индексов четной или нечетной. Доказать, что кубический детерминант п-го по­рядка не меняется от перемены знаков у всех его элементов, нечетных относительно одной какой-нибудь пары индексов, и что этот же детерминант от перемены знаков у всех его элементов, четных относительно одной какой-нибудь пары индексов, также не меняется, если п—четное, и лишь меняет знак, если п—нечетное.

8. Если кубическая матрица —симметрическая относительно индексов i, j, то

Доказать.

9. Если кубическая матрица л-го порядка —кососимметричсская относи­тельно индексов i, j, то

Доказать.

10. Показать, что

если матрица — симмет­рическая.

11. Показать, что кубический детерминант и-го порядка может быть представлен в виде суммы п косигнатурных детерминантов того же порядка, отличающихся от дан­ного детерминанта и между собой лишь элементами какого-нибудь сечения, которое в каждом из слагаемых детерминантов состоит из нулей, за исключением одной его строки одного какого-нибудь направления, причем эти п ненулевых строк являются различными строками того же направления в соответствующем сечении данного детер­минанта. Обобщить на случай детерминанта любого числа измерений.

12. Если p-мерная матрица

— симметрическая, то все ее детерминанты одного и того же рода т, где т —любое четное число, не превышающее р, одинаковы. Доказать.

13. Сколько различных детерминантов может быть у симметрической p-мeрной матрицы?

14. Доказать, что все детерминанты кососиметричоской пространственной матрицы нечетного порядка равны нулю.

15. Если каждый элемент многомерного детерминанта п-го порядка представляет­ся в виде алгебраической суммы h одночленов, то этот детерминант равен сумме hn косигнатурных детерминантов n-гo порядка с одночленными элементами. Доказать.

16. Свойство X многомерных детерминантов распространить на случай, когда к некоторому сечению (простому) какой-нибудь ориентации прибавляется любая линей­ная комбинация других сечений той же ориентации.

Упражнения к п.24.3.

1. Вычислить все детерминанты кубической матрицы 3-го порядка выражая их: а) через обычные детермиианты и перманенты; б) через кубические детерминанты 2-го порядка.

2. Для вычисления детерминантов кубической матрицы 3-го порядка существует обобщенное правило Сарруса, указанное Гавриловичем. Согласно этому правилу образуем сжатую трехмерную матрицу, увеличивая в данной кубической матрице каждое из трех сечений неальтернатпвной ориептации до 52 элементов. В полученной матрице выделяем главное диагональное сечение, соответствующее неальтернатпвному направле­нию, и четыре параллельных ему сечения, представляя их в виде пяти двумерных мат­риц, из которых берем со знаком + все 18 произведений каждых трех элементов, принадлежащих диагоналям этих матриц. Точно так же поступаем с побочным диаго­нальным сечением и параллельными ему сечениями, беря в этом случае все 18 произ­ведений со знаком — (+ если рассматривается перманент). Алгебраическая сумма состав­ленных таким образом 36 произведений дает кубический детерминант с той или иной сигнатурой.

Вычислить по этому правилу все детерминанты кубической матрицы 3-порядка

3. Вычислить все детерминанты четырехмерной матрицы 2-го порядка

выражая их через детерминанты низшего числа измерений.

4. Если р-мерный детерминант п-го порядка с неальтернативным индексом имеет все п сечений ориентации одинаковые, то он равен умноженному на п! детерминанту (р—1)-морной матрицы, представляющей одинаковые сечения, причем сигнатура этого детерминанта одинакова с сигнатурой всех индексов данного детерми­нанта, отличных от . Доказать.

5. Если р-мерный детерминант п-го порядка с неальтернативными индексами имеет все пт т-кратных сечений ориентации одинаковые, то он равен умноженному на -мерному детерминанту, соответствую - щему одинаковым сечениям ориентации причем сигнатура этого детерминанта одинакова с сигнатурой всех индексов данного детерминанта, отличных от Доказать.

6. Показать, что кубические детерминанты 3-го порядка

и

где знаками * обозначаются какие угодно элементы, равны нулю.

7. Доказать, что детерминант р-мерной матрицыс неальтернативыым индексом іα и альтернативным индексом — любые из чисел 1, 2, ...,р) равен нулю, если всо (р — 2)-мерные сечения его ориентации содержащиеся в двух каких-нибудь (р—1)-мерных сечениях любой из ориентации кратны одному из этих (р—2)-мерных сечений.

8. Сколько миноров порядка v или п— v имеет р мерный детерминант п-го порядка?

9. Представить многомерный детерминант порядка п с той или иной сигнатурой в виде косигнатурного детерминанта порядка

10. Представить произведение двух косигнатурных кубических детерминантов поряд­ков n1 и п2, в виде косигнатурного кубического детерминанта порядка п1+п2. Распро­странить на детерминанты любого числа измерений.

11. Распространить теоремы 3.3 — 3.6 на детерминанты р-мерной (р > 3) матрицы.

12. Доказать, что любой из детерминантов р-мерной матрицы п-го порядка

равен нулю, если равны нулю все его эле­менты, общие каким-нибудь α1 сечениям ориентации сечениям ориентации сечениям ориентации (ip), где имеют значения, заключа­ющиеся в ряде натуральных чисел 1, 2, ..., п и удовлетворяющие неравенству

.

13. Разобьем в кубической матрице n-го порядка А п сечений некоторой ориента­ции на q групп, выделяя в v-ю группу какие-нибудь сечений, так что

Пусть Mv — какой-нибудь минор порядка пv какого-либо детерминанта матрицы А, составленный из элементов v-й группы. Совокупность миноров будем называть трансверсалъной, если ни одна пара их не содержит элементов матрицы А, принадлежащих одному и тому же сечению какой-либо ориентации.