Дискретно-непрерывная математика (стр. 6 )

Пусть — система из k заданных векторов пространства V со скалярным произведением Матрицей Грама векторов относительно скалярного произведения называется матрица с элементами Последняя характеризация, которую мы даем для положительно полуопределенных матриц, описывает их как мат­рицы Грама (см. следствие 21.2.11).

21.2.10.Теорема. Пусть — матрица Грама векторов

относительно заданного скалярного произве­дения и пусть Тогда

(a) G положительно полуопределена;

(b) для невырожденности матрицы G необходимо и доста­точно, чтобы векторы были линейно независимы;

(c) существует положительно определенная матрица такая, что

(d) rank G = rank W = максимальное число линейно незави­симых векторов в системе

Доказательство. Матрица с элементами эрмитова вследствие эрмитовости скалярного произведения. При этом

Норма порождена данным скалярным произведением. Вслед­ствие положительной определенности нормы равенство нулю возможно, лишь если

При нетривиальном наборе коэффициентов хi это означает, что заданные векторы линейно зависимы. Если матрица G вырожденна, то найдется ненулевой вектор х, такой, что Gx=0: следовательно, x*Gx = 0 и система линейно зависима. Обратно, если (причем не все xi равны нулю) и то, как показано выше, так что матрица G должна быть вырожденной.

Если — естественный ортонормированный базис

пространства то матрица положительно определена согласно (а) и (b). Для любых векторов имеем

Отсюда а потому

Наконец, если то

значит, Wx = О, поскольку матрица А положительно опре­делена. Обратно, Wx = 0 влечет за собой поэтому G и W имеют одно и то же ядро, а следовательно, оди­наковый ранг. Но столбцовый ранг матрицы W есть максималь­ное число линейно независимых векторов в системе

Упражнение. Чаще всего теорема 21.2.10 применяется в слу­чае обычного евклидова скалярного произведения Показать, что в этом случае А=I; вывести отсюда, что макси­мальное число линейно независимых векторов в заданной си­стеме в точности равно рангу матрицы

21.2.11. Следствие. Пусть —заданная матрица. Для

того чтобы А была положительно полуопределенной и имела ранг необходимо и достаточно, чтобы существовала система векторов с максимальным числом линейно независимых векторов, равным r, для которой А есть матрица Грама относительно евклидова скалярного произве­дения.

Доказательство. Достаточность условия установлена в тео­реме 21.2.10. Для доказательства необходимости представим А, пользуясь теоремой 21.2.6, в виде А = В2, где В положительно полуопределена. Ранги матриц В и А одинаковы, и А= В2= В*В является матрицей Грама системы столбцов матрицы В относительно евклидова скалярного произведения.

Микромодуль 59

Индивидуальные тестовые задания

Задачи к п. 21.0

1. Пусть последовательность генерируется формулой (21.0.2), причем функция f неотрицательна. Показать, что обе квадратичные формы

неотрицательны.

2. Сделать рисунок, показывающий, какие диагонали ганкелевой матрицы постоянны. То же задание для тёплицевой мат­рицы.

3. Показать, что матрица А формулы (21.0.6) всегда нераз­ложима, а если то это матрица с диагональным пре­обладанием. Из следствия 20.2.27 вывести, что в этом случае А невырождеина и все ее собственные значения положительны.

Задачи к п. 21.1

1. Пусть матрица положительно полуопределена, а Показать, что х*Ах = 0 тогда и только тогда, когда Ах = 0. Вывести отсюда, что ранг положительно полуопределен­ной матрицы равен п в том и только в том случае, если А положительно определена. Указание. Рассмотреть квадрат­ный многочлен Если х*Ах=0, то показать, что при всех и при t==0. Вывести из этого, что у*Ах = 0 для всех и, следо­вательно, Ах = 0.

2. Показать, что если в положительно полуопределенной матрице некоторый диагональный элемент равен нулю, то ну­левыми будут все элементы соответствующих строки и столбца.

3. Пусть все диагональные элементы положительно опреде­ленной матрицы равны +1. Показать, что тогда все вообще эле­менты матрицы ограничены по абсолютной величине единицей. Может ли для какого-либо внедиагонального элемента достигаться равенство?

4. Доказать, что ранг положительно полуопределенной мат­рицы А тогда и только тогда равен 1, когда А представима в виде А=хх* для некоторого ненулевого вектора

5. Пусть матрица положительно определена. Доказать, что матрица также положительно определена, все ее диагональные элементы равны +1 и все во­обще элементы ограничены по абсолютной величине единицей. Такую матрицу называют корреляционной. Указание. Найти преобразование конгруэнтности с подходящей вещественной диа­гональной матрицей.

6. Показать, что для вещественной матрицы А выполнение требования при всех ненулевых зависит только от эрмитовой компоненты Н(А).