Дискретно-непрерывная математика (стр. 65 )

(4)

Перепишем неравенство (4) в виде

(5)

или, умножая это неравенство слева и справа на матрицуи обозначая в виде

(6)

Теперь перед нами стоит задача нахождения пары матрицудовлетворяющих матричным неравенствам (6). Рассмотрим последовательно два способа ее решения путем приведения нелинейного матричного неравенства к линейным матричным нера­венствам, решаемым в пакете MATLAB.

Первый способ состоит в том, чтобы ввести новую матричную переменную Z=QY и записать неравенства (6) в виде линейных матричных неравенств

(7)

относительно переменных Y и Z. Находя пару удовлетворяющую (7), вычислим параметры искомой обратной связи Таким образом, верно следующее.

Утверждение 1. Объект (1) или пара (А, В) стабилизируемы тогда и только то­гда, когда линейные матричные неравенства (7) разрешимы относительно перемен­ных Y и Z. В случае стабилизируемости параметры линейной обратной связи по состоянию находятся так:

Второй способ состоит в представлении неравенства (6) в виде

с Тогда согласно утверждению 1, условия которого выполнены в силу того, чтоэто неравенство разрешимо относительно матрицы Θ тогда и только тогда, когда разрешимы неравенства

(8)

Здесь обозначает матрицу, столбцы которой составляют базис ядра матрицы ВТ, т. е. матрица удовлетворяет матричному уравнениюи имеет максимальный ранг среди всех его решений. Подставляя решение Y неравенств (8) в (6), приходим к линейному матричному неравенству относительно параметров Θ, решая которое находим параметры линейной обратной связи. Итак, имеет место следующее.

Утверждение 2. Объект (1) стабилизируем тогда и только тогда, когда линей­ные матричные неравенства (8) разрешимы относительно переменной Y. В случае стабилизируемости параметры линейной обратной связи по состоянию находятся как решения линейного матричного неравенства (6) с найденным Y относительно переменной Θ.

Отметим, что с учетом леммы А.8 неравенства (8) выполняются при некоторой матрице Y тогда и только тогда, когда разрешимы линейные матричные неравенства

(9)

относительно переменных Y и При выполнении этих неравенств параметры регулятора могут быть выбраны в виде

(10)

Пример 1 Стабилизация перевернутого маятника: объект описывается урав­нением

Введем вектор где и запишем это уравнение как

т. е. в виде (1), где

В данном случае неравенства (7) принимают вид

(11)

где Согласно критерию Сильвестра эти неравенства эквивалентны следующей системе нелинейных неравенств:

решение которых представляет определенную трудность. Вместе с тем, Y и Z удо­влетворяют линейным матричным неравенствам (7) и, следовательно, эти мат­рицы, а значит, и параметры регулятора Θ, могут быть найдены с использованием LMI Toolbox (команда feasp):

Таким образом, один из регуляторов по состоянию, который стабилизирует перевер­нутый маятник, задается уравнением

Решение этой задачи вторым способом предполагает нахождение матрицы т. е. матрицы максимального ранга, удовлетворяющей уравнению

Очевидно, что одним из его решений в данном случае будет

Тогда первое неравенство в (8) примет вид

Теперь, подставляя в (6) любую матрицу у которой получим линейное матричное неравенство относительно Θ. Решение этого неравенства с помощью команды feasp дает требуемый результат. Например, для

было найденс Итак, регулятор

также стабилизирует перевернутый маятник.

Конечно, в связи с этим примером может возникнуть законный вопрос: зачем нужны здесь линейные матричные неравенства, когда при линейной обратной связи характеристический полином замкнутой системы, равныйимеет

корни слева от мнимой оси приОднако, следующий пример уже не такой тривиальный, и он показывает, что линейные матричные неравенства являются эффективным средством для синтеза регуляторов.

Пример 2. Стабилизация двухзвенного перевернутого маятника: объект опи­сывается уравнением

Введем вектор где и запишем это уравнение как

т. е. в виде (1), где

Решение задачи синтеза первым способом дало следующие результаты:

а второй способ дал ту же самую матрицу Y и

23.6.2. Одновременная стабилизация нескольких объек­тов

Задача одновременной стабилизации нескольких объектов заключается в построении единого регулятора, при котором цель управления достигается для каждого из этих объектов. Такая задача возникает, например, при управлении технической системой, которая может функционировать в нескольких режимах.

Пусть имеются N линейных управляемых объектов

(12)

Требуется построить регулятор по состоянию и = Вх, обеспечивающий асимптотиче­скую устойчивость всех N замкнутых систем.

Для этого достаточно установить условия существования N квадратичных функций

являющихся функциями Ляпунова для каждой из замкнутых систем, т. е. таких, что

(13)

В отличие от задачи стабилизации одного объекта в данном случае не удается сфор­мулировать конструктивные условия разрешимости системы этих неравенств. Однако, если ограничиться единой для всех N систем функцией Ляпунова, т. е. в (13) поло­жить то такие условия могут быть получены. В такой постановке эта задача называется задачей квадратичной стабилизации нескольких объектов.

Для ее решения умножим обе части неравенства (13) слева и справа на обозначим и получим систему неравенств