Дискретно-непрерывная математика (стр. 124 )

8. Найти предельные и тройные точки линейно-квадратичных проективных соот­ветствий

9. Тройные точки (из которых две или все три одинаковы) проективного соответ­ствия, задаваемого двойничной линейно-квадратичной формой (2.9), находятся в линей­но-квадратичной инволюции с тремя различными тройками точек

если каждая из трех троек точек

принадлежит проективному соответствию, задаваемому двойничной трилинейной формой, полярной форме (2.9). Доказать.

10. Если μ1 и μ2 — двойные точки инволюций, задаваемых билинейными формами, полярными ковариантам неособенной двойничной линейно-квадратич­ной формы (2.9), то каждая тройка очек принадлежит линейно-квадратичным проективным соответствиям, задаваемым формой (2.9) и ее ковариантом Q, а каждая пара точек принадлежит билинейному проективному соответ­ствию, характеризующемуся уравнением

Доказать.

11. Если — соответственныеточки инволюций, задаваемых билиней­ными формами, полярными ковариантами неособенной двойничной линейно-квадратичной формы (2.9), и тройка точек х, у, у принадлежит проективному соответ­ствию, задаваемому формулой (2.9), то каждая из троек точек принадлежит проективному соответствию, задаваемому ковариантом Q этой формы. Доказать.

Упражнения к п.27.3.

1. Пользуясь таблицей III, проверить сизигию Кэли [см. (4.8') гл. III] для двойнич­ной кубической формы, данной в каноническом виде, и показать, что она справедлива для любой формы каждого класса.

2. Показать, что для каждой пары классов (I, IV), (II, III) двойничных-кубичес­ких форм (табл. IV) сумма r+rA первичного ранга r форм одного из классов пары и вторичного ранга rA форм другого—равна 2 ().

3. Каким классам в вещественной области принадлежат формы

4. Приняв во внимание указанные при доказательстве теоремы 3.1 элементарные преобразования симметрической кубической матрицы, приводящие ее к каноническому виду, найти для каждой из форм упражнения 3 невырожденную квадратную матрицу, на которую надо умножить по индексам i, j, k матрицу рассматриваемой формы, чтобы получить матрицу эквивалентной канонической формы.

5. Показать, что симметрическая кубическая матрица 2-го порядка, эквивалентная в поле комплексных или вещественных чисел канонической матрице (I), эквивалентна в том же поле матрице

6. Какими симметрическими элементарными преобразованиями матрица А0 (см. упражнение 5) может быть приведена к канонической матрице (І)0. Указать равносиль­ное этим преобразованиям умножение по индексам i, j, k матрицы А0 на невырожден­ную квадратную матрицу.

7. Приравнивая нулю двойничную кубическую форму f, принадлежащую классу I пли II, мы получим тройные точки трилинейной инволюции, задаваемой формой F, полярной форме f. Какое свойство тройных точек этой инволюции характеризует равен­ство ∆ =0?

8. Если двойничная кубическая форма f — неособенная, то уравнение Н=0 определяет двойные точки билинейной инво­люции, задаваемой формой, полярной коварианту Н. Показать, что каждая из этих точек составляет с тройными точками трилинейной инво­люции, задаваемой формой F (см. упражнение 7), эквиангармоническую четверку (ср. с теоремой 3.2).

9. Если двойничная кубическая форма / — неособенная, то уравнение Q = 0 опреде­ляет тройные точки трилинейной инволюции, задаваемой формой, полярной ковари­анту Q. Показать, что эти точки различны между собой и что каждая из них вместо с одной из тройных точек трилинейной инволюции, задаваемой формой F (см. упраж­нение 7), делит гармонически остальные две (ср. с теоремой 3.3).

10. Если х и х' — соответственные точки инволюции, задаваемой билинейной формой, полярной коварианту Н неособенной двойничной кубической формы f, и тройка точек х, у, z принадлежит трилинейиой инволюции, задаваемой формой F (см. упраж­нение 7), то тройка точек х', у, z принадлежит трилинейной инволюции, задаваемой формой, полярной коварианту Q формы f. Доказать.

Модуль 28.

Классификация кубических тройничных форм

28.1. Проективная классификация кубических тройничных форм

1. Будем называть кубическую тройничную форму

с соответствующей симметрической кубической матрицей неособенной, если ее дискриминант [(4.22) гл. III] отличен от нуля, и особенной, если R = 0. Рассмотрим сперва неособенные формы. У таких форм абсолютный инвариант может иметь любое значение, не равное нулю и не являющееся неопределенностью вида Как показал Гессе, всякая неособенная кубическая тройничная форма невырожденным линейным преобразованием

приводится к канонической форме

(1.1)

Известны различные методы нахождения коэффициентов этого преобра­зования, данные, помимо Гессе, также Аронгольдом, Споттисвудом, Клебшем, Гундельфингером. Мы покажем, следуя Пуанкаре и Гордану, что к канонической форме (1.1) можно прийти на основа­нии геометрических соображений.

Будем рассматривать переменные х1, х2, х3 формы f как проективные координаты точки на проективной плоскости. Тогда уравнение

(1.2)

соответствующее форме f, определит плоскую линию третьего порядка С3, о которой будем говорить, что она представлена формой f. Пусть линия С3 не имеет особых точек. Тогда, как известно, у нее имеется девять точек перегиба, расположенных по три на двенадцати прямых, причем через каж­дую точку перегиба проходят по четыре прямых из этих двенадцати; последние образуют четыре сизигетических треугольника, каждый из которых содержит все девять точек перегиба, имея их по три на каждой стороне. В вещественной области из девяти точек перегиба три вещественны и лежат на одной вещественной прямой, а остальные шесть — мнимые, попарно сопряженные, лежащие на трех вещественных прямых, из которых каждая содержит, кроме двух мнимых сопряженных точек перегиба, также одну из трех вещественных точек перегиба. Эти три вещественные прямые образуют единственный вещественный сизигетический треугольник. Таким образом, из двенадцати прямых, на которых лежат девять точек перегиба, только четыре вещественны, остальные же восемь — мнимые, попарно сопря­женные. Именно, через каждую из трех вещественных точек перегиба про­ходят, кроме вещественной прямой, на которой лежат эти точки, другая вещественная прямая — сторона вещественного сизигетического треуголь­ника — и две мнимые сопряженные прямые из упомянутых выше двенадцати; последняя же пара мнимых сопряженных прямых входит в состав сизиге­тического треугольника, третья сторона которого есть вещественная прямая, содержащая все три вещественные точки перегиба.

Выберем проективную систему координат так, чтобы координатным треугольником служил один из четырех сизигетических треугольников (вещественный в случае вещественной области) и чтобы две из точек пере­гиба линии С3 получили координаты (0, 1,-1) и (1, 0, —1). Тогда, как нетрудно убедиться, остальные семь точек перегиба будут иметь координаты

где — мнимые кубические корни из 1.

Так как координаты каждой точки перегиба должны удовлетворять уравнению

в которое переходит уравнение (1.2) в результате проективного преобразо­вания, то

Отсюда находим:

Следовательно, форма f, представляющая линию С3, упомянутым выше про­ективным преобразованием приводится к виду

где, очевидно, Полагая