Дискретно-непрерывная математика (стр. 49 )

7. Показать, что если матрица неотрицатель­ная и трехдиагональная, то все ее собственные значения веще­ственны. Указание. Сначала убедиться в том, что если все эле­менты, соседствующие с главной диагональю, положительны, то с помощью некоторой диагональной матрицы D с положительной диагональю от А можно перейти к симметричной матрице Затем показать, что наличие нулей по соседству с глав­ной диагональю не имеет вредных последствий для веществен­ности собственных значений.

8. Пусть задана неотрицательная матрица Пока­зать, что либо A неразложима, либо существует матрица пере­становки Р, такая, что

где для всех матрица либо неразложима, либо это есть нулевая матрица размера 1×1. Такое представлерше называется неразложимой нормальной формой матрицы А. За­метим, что и для А нормальная неразложимая форма не обязательно единственна.

9. Матрицу в которой все внедиагональные элементы неотрицательны, назовем неотрица­тельной в главном. Показать, что если А неотрицательна в глав­ном, то для некоторогополучим Используя это наблюдение и теорему 22.3.1, доказать, что А имеет веще­ственное собственное значение (его часто называют до­минирующим собственным значением), обладающее тем свой­ством, что для всех собственных значений мат­рицы А. Показать, что собственное значение является не обязательно наибольшим по модулю. Однако если то Указание. Матрица имеет собственные зна­чения

10. Теорема 22.1.18 утверждает, что если матрица неотрицательна, то при условии, что матрица

тоже неотрицательна — это свойство типа монотонности, относящейся к спектральному радиусу. Показать, что если мат­рица неотрицательна в главном (см. задачу 9), то мат­рица А + D будет неотрицательной в главном для любой диа­гональной матрицы Известно, что если А — задан­ная неотрицательная в главном матрица и D — переменная матрица, принадлежащая классу вещественных диагональных матриц, то доминирующее собственное значение яв­ляется выпуклой функцией диагональных элементов матрицы D.

Задачи к п.22.4

1. Показать на примерах, что утверждения теоремы Пер­рона 22.2.11, не включенные в теорему 22.4.4, в общем случае не верны для неразложимых неотрицательных матриц.

2. Показать на примерах, что равенство не имеет место одновременно для всех Придумать необходимое и достаточное условие на матрицу А, обеспечиваю­щее справедливость этого равенства.

3. Для того чтобы неотрицательная матрица А имела поло­жительный собственный вектор, неразложимость достаточна, но не является необходимой. Рассмотреть матрицыи и убедиться в том, что разложимая неотрицательная матрица может иметь, а может и не иметь положительный собственный вектор.

4. Доказать, что если матрица неразложима, то эле­менты матриц равномерно ограничены при

5. Как было установлено, неразложимая матрица обладает положительным перроновым вектором. Предположим, что

и Доказать, что если вектор х не является положительным, то матрица А разложима. Если вектор х положительный, то должна ли матрица А быть неразложимой?

6. Предположим, что матрица неразложима и мат­рица коммутирует с А. Доказать, что если х — перронов вектор матрицы А, то Указание. Использовать утверждение (d) теоремы 22.4.4.

7. Доказать, что сопровождающая матрица многочлена представляет собой пример неотрицательной мат-рицы порядка k, имеющей k собственных значений с макси­мальным модулем. Обрисовать расположение этих собственных значений на комплексной плоскости.

8. Пусть заданы положительные целые По­казать, каким образом строится неотрицательная матрица, для которой собственные значения с максимальным модулем — это в точности k1 корней из единицы степени корней из еди­ницы степени корней из единицы степени

9. Объяснить, почему неразложимую неотрицательную мат­рицу А называют циклической индекса k, если она имеет собственных значений с максимальным модулем.

10. Доказать, что если неразложимая матрица являет­ся циклической индекса то ее характеристический многочлен имеет вид

где r, т — какие-то целые неотрицательные числа и — комп­лексные числа, удовлетворяющие условию

Прокомментировать расположение нулевых и не­нулевых коэффициентов многочлена и сформулировать критерий, когда матрица А имеет только одно собственное зна­чение с максимальным модулем, базируя его на форме харак­теристического многочлена. Указание. Из доказательства след­ствия 22.4.6 получаем, что если и λ — собственное зна­чение матрицы А, то для число будет также собственным значением для А.

11. Пусть число п>1 простое. Доказать, что если матрица неотрицательна, неразложима и невырожденна, то либо ρ(A) есть единственное ее собственное значение с максималь­ным модулем, либо одинаковый модуль имеют все ее собствен­ные значения.

12. Рассмотреть и показать, что следствие 22.4.8 нельзя усилить в том смысле, что в общем случае нельзя утвер­ждать, что главная диагональ всех степеней матрицы А состоит из нулей.

13. Пусть Доказать, что неразложимость матрицы А определяется только расположением ее нулевых элементов и не зависит от значений ненулевых элементов.