Дискретно-непрерывная математика (стр. 118 )

если оно характеризует трилинейное проективное соответствие I рода, или в любом из трех видов

(1.13)

в случае трилинейного проективного соответствия II рода и, наконец, в виде

(1.14)

в случае трилинейной инволюции. Каждый из этих видов уравнения (1.11) относит двум из точек х, у, z третью точку. Однако в отличие от уравнения (1.12) остальные уравнения представляют некоторые особенности. Именно, если в одном из уравнений (1.13), например в нервом, точкам х, у отвечает точка z, то точкам х, z отвечает точка у. Точно так же, если в уравнении (1.14) точкам х, у со­ответствует точка z, то точкам х, z соответствует точка у, а точкам у, z — точка х.

В каждой из трех систем точек прямой, между которыми существует трилинейное проективное соответствие того или иного рода, имеется пре­дельная точка, соответствующая несобственным точкам двух других систем. Предельные точки трех систем определяются в случае проективного соответствия I рода координатами (неоднородными)

В случае проективного соответствия II рода две из предельных точек совпадают. Так, например, первое из уравнений (1.13) дает:

При инволюции все предельные точки совпадают, образуя центр трилинейной инволюции

Полагая в уравнениях (1.12), (1.13), (1.14) найдем три тройные точки трилинейного проективного соответствия каждого рода. Эти три точки либо различны между собой, либо две из них (или даже все три) совпадают (упражнение 8).

Равенство ∆=0 указывает, что трилинейное проективное соответствие, характеризуемое уравнением (1.11), является особенным.

Уравнения имеющие в неоднородных координатах вид

(1.15)

определяют двойные точки билинейных инволюций

(1.16)

Если форма F — неособенная, то ее дискриминант ∆ не равен нулю и, следовательно, двойные точки каждой из инволюций (1.16) различны. В вещественной области, смотря по тому, принадлежит ли неособенная форма F классу 1а или 1б, обе двойные точки — вещественные или мнимые. В первом случае мы имеем гиперболические инволюции, во вто­ром — эллиптические. Если же форма F — особенная неприводимая то инволюции (1.16) — параболические, двойные точки которых совпадают.

Уравнение имеющее в неоднородных координатах вид

(1.17)

характеризует трилинейное соответствие между тремя системами точек прямой, если форма F — неособенная.

Это проективное соответствие — неособенное, род которого таков же, как у проективного соответствия, задаваемого формой F.

Основные свойства трилинейных проективных соответствий выражаются следующими теоремами.

Теорема 1.2. Тройные точки трилинейного проективного соответствия I рода находятся в трилинейной инволюции с тремя различными тройками точек

если каждая из шести троек

принадлежит упомянутому проективному соответствию.

В самом деле, при условиях теоремы проективное соответствие, о кото­ром идет речь, можно представить в виде

Его тройные точкиопределяются уравнением

(1.18)

Как нетрудно убедиться,

Отсюда на основании уравнения (1.18) заключаем, что

Следовательно, имеют место равенства

где не равны одновременно нулю.

Тем самым доказано существование определяемой уравнением

трилинейной инволюции, которой принадлежат тройки точек

Аналогично доказывается

Теорема 1.3. Тройные точки трилинейного проективного соответ­ствия II рода, среди которых нет одинаковых, находятся в трилинейной инволюции с тремя различными между собой тройками точек

если каждая из трех троек точек

принадлежит упомянутому проективному соответствию.

Замечание 1.3. Теоремы 1.2 и 1.3 являются распространением на трилинейные проективные соответствия следующего, хорошо известного свойства: различные между собой двойные точки билинейного проективного соответствия находятся в инволюции (билинейной) с двумя неодинаковыми парами точек если каждая пара точек принадлежит упомянутому проективному соответствию.

Теорема 1.4. Если — двойные точки инволюций, задаваемых билинейными формами, полярными ковариантам неособенной двойничной трилинейной формы F, то каждая из троек точек

принадлежит проективным соответствиям, задаваемым формой F и ее ковариантом Q.

Действительно, пусть

(1.19)

— невырожденные линейные преобразования, которыми неособенная двой­ничная трилинейная форма F переводится в каноническую форму для которой

(В вещественной области форма F предполагается принадлежащей классу 1а, так как для формы класса 1б двойные точки инволюций—мнимые.)

Тогда, обозначая через

(1.20)

линейные преобразования, обратные преобразованиям (1.19), и полагая

можем представить уравнения, определяющие двойные точки упоминаемых в теореме билинейных инволюций в виде

(1.21)

а уравнения, характеризующие трилинейные проективные соответствия, о которых идет речь, в виде

(1.22) (1.23)

где

Из уравнений (1.21), (1.22), (1.23) непосредственно вытекают пере­числяемые в теореме свойства трилинейных проективных соответствий.

Теорема 1.5. Двойные точки параболических инволюций, задаваемых билинейными формами, полярными ковариантам особенной неприводимой двойничной трилинейной формы F, принадлежат проективному соответствию, задаваемому формой F.

В самом деле, если преобразования (1.20) обратны невырожденным линейным преобразованиям (1.19), переводящим особенную неприводимую двойничную трилинейную форму F в каноническую форму

для которой то уравнения, определяющие двойные точки упоминаемых в теореме параболических инволю­ций, будут иметь вид

(1.24)

а уравнение, характеризующее проективное соответствие, задаваемое формой F, представится в виде

(1.25)

где

Уравнениями (1.24), (1.25) и подтверждается теорема.

Теорема 1.6. Если —соответственные точки инволюций, задаваемых билинейными формами, полярными ковариантам неособенной двойничной трилинейной формы F, и тройка точек х, у, z принадлежит проективному соответствию, задаваемому формой F, то каждая из точек принадлежит проективному соответствию, задаваемому ковариантом Q этой формы.