Дискретно-непрерывная математика (стр. 62 )

где и - ядра матриц Р и Q, а - дополнение до и выберем соответствующий базис. В этом базисе Р и Q будут иметь следующий блочный вид

Представим также Ψ в этом базисе в виде Очевидно, что в качестве матриц и могут быть взяты

и тогда условия (5) сводятся к неравенствам

(6)

Требуется теперь установить разрешимость относительно Θ матричного неравенства (1), которое принимает вид

(7)

где

Покажем сначала, что матричное уравнение

(8)

разрешимо относительно Θ для любой соответствующего размера матрицы в правой ча­сти. Действительно, согласно лемме В.2 для разрешимости этого уравнения необходимо и достаточно разрешимости относительно Y и Z следующих двух уравнений

Так как -матрица имеет ранг и-матрица имеет ранг то оба эти уравнения разрешимы. Следовательно, для любых найдется матрица Θ такая, что верно (8).

Обозначим

левую верхнюю (3 × 3)-блочную подматрицу матрицы в левой части (7). Тогда со­гласно лемме А.2 для выполнения (7) необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства

Выполнение второго из этих неравенств при данных всегда может быть обеспечено за счет соответствующего выбора К22. Поэтому осталось показать, что при некоторой К11.

Для этого сделаем следующие преобразования квадратичной формы с матрицей П при

Представим полученное выражение в виде

Первое слагаемое этого выражения неположительно, т. к. в силу (6) и леммы А.2 имеем а в матрице, определяющей второе слагаемое, диагональные блоки - отрица­тельно определенные матрицы в силу (6). Ясно, что за счет выбора К11, положив, например,

все это выражение может быть сделано отрицательным для любого ненулевого х. Тем самым, справедливость утверждения 2 доказана.

Отметим, что с учетом леммы А.8 условия (5) разрешимости линейного матрич­ного неравенства (1) относительно матрицы Θ могут быть эквивалентно выражены неравенствами

(9)

которые должны выполняться при некотором

23.4.2 Параметризация всех решений

Пусть теперь условия, сформулированные в утверждении 2, выполняются и неравен­ство (1) разрешимо. Представим в виде произведения множи­телей полного ранга, взяв, например, в качестве столбцов левых сомножителей любые и линейно независимых столбцов матриц Р и Q соответственно, через которые линейно выражаются все остальные столбцы. Тогда произвольный j-й столбец, скажем, матрицы Р будет линейной комбинацией столбцов матрицы с коэффициентами, об­разующими j-й столбец матрицы Так как сомножители имеют максимальный ранги, то матрицы являются невырожденными. Общий вид всех решений неравенства (1) в параметрической форме дается в следующем утверждении.

Утверждение 3. Пусть даны симметрическая матрица и две матрицы и причем иПусть также выполнены условия

(10)

где столбцы матрицы образуют базис ядра матрицы Р, а столбцы матрицы образуют базис ядра матрицы Q. Тогда существуют такие соответствующего разме­ра матрицы Z и L, причем а также число что произвольное решение линейного матричного неравенства (1) представляется в виде

(11)

где

а верхний индекс + отвечает операции псевдообращения.

Доказательство. Пусть Θ - решение неравенства (1). Тогда матрица удовлетворяет неравенству

и, значит, существует такое достаточно большое что выполняется неравенство

Преобразуем это неравенство к виду

(12)

обозначим и покажем, что эта матрица положительно определенная.

Из второго условия (10) следует, что для всех х, принадлежащих - ядру матрицы Q. Так как и из в силу того, что

матрица невырожденная, следует то для всех х, удовлетворяющих уравнению Поэтому, применяя лемму А.8, получим, что для достаточно большого имеем т. е. введенная выше матрица Ф положительно определенная.

Согласно лемме А.2 два неравенства и (12) эквивалентны неравенству