Дискретно-непрерывная математика (стр. 79 )

где дополнительный множитель (— 1)N определяется сигнатурой детерми­нанта, можно представить в виде

т. е. в виде алгебраической суммы h членов косигнатурных детерминантов, получающихся из данного заменой каждого элемента

в v-м сечении ориентации (i1) элементом

Составляя эти суммы для каждого из (n!)p-1 членов данного детерми­нанта и собирая вместе их μ-е слагаемые, мы получим, очевидно, μ-й косигнатурный детерминант, отличающийся от данного лишь тем, что в v-м се­чении ориентации вместо элементов стоят элементы Полагая μ последовательно равным 1, 2, ..., h, получим h косигнатурных детерминантов, сумма которых будет равна данному детер­минанту.

Будем говорить, что v-e сечение (простое) какой-нибудь ориентации в многомерном детерминанте п-го порядка есть линейная комбинация его остальных сечений той же ориентации, если для вся­кого μ-го из этих сечений можно указать такое число что, умножая μ-е сечение на а затем складывая все сечения, кроме v-гo, мы получим v-e сечение (умножение сечения на какое-нибудь число надо понимать как умножение всех его элементов на это число, а сложение сечений одной и той же ориентации — как сложение соответственных элементов этих сечений). Некоторые из множителей могут быть равными нулю, т. е. v-e сечение фактически будет линейной ком­бинацией не всех п —1 оставшихся сечений, а лишь некоторых из них. В частности, если только один из множителей не равен нулю, мы имеем случай пропорциональности двух сечений. Наконец, если сечение состоит целиком из нулей, то оно всегда будет линейной комбинацией остальных сечений, — случай, когда все множители равны нулю. Первому из этих частных случаев соответствует свойство VII, обобщением которого являете»

Свойство IX. Если одно из сечений (простых) какой-нибудь ориен­тации в многомерном детерминанте есть линейная комбинация его других сечений той же ориентации, то детерминант будет равен нулю, если ориентация — альтернативная, и не будет необходимо равным нулю, если ориентация — неальтернативная.

В самом деле, пусть в рассматриваемом многомерном детерминанте-п-го порядка некоторое сечение (простое) какой-нибудь ориентации, напри­мер v-e сечение ориентации (i1), есть линейная комбинация h других сечений той же ориентации. Тогда каждый элемент этого сечения будет алгебраической суммой h слагаемых, а потому, на основании свой­ства VIII, детерминант может быть представлен в виде суммы h косигна­турных детерминантов, в каждом из которых v-e сечение ориентации (i1) будет пропорционально одному из остальных сечений той же ориентации. По свойству VII все эти детерминанты равны нулю, если ориентация (i1) — альтернативная. В этом случае равен нулю, следовательно, и рассматри­ваемый детерминант. Последний, очевидно, не будет необходимо равным нулю, если ориентация (i1) — неальтернативная.

Следствие. Гипердетерминант равен нулю, если одно из его сече­ний (простых) какой-либо ориентации есть линейная комбинация других сечений той же ориентации.

Следующее свойство, указанное Гегенбауером, является обобщением теоремы Якоби, относящейся к обычным детерминантам.

Свойство X. Если в многомерном детерминанте к некоторому сечению (простому) какой-нибудь ориентации прибавляется другое сечение той же ориентации, умноженное на какое-либо число, то детерминант не меняется, если ориентация — альтернативная, и, вообще говоря, меняет­ся, если ориентация — неальтернативная.

Действительно, пусть в данном многомерном детерминанте к некоторо­му сечению какой-нибудь ориентации, например (i1), прибавляется другое сечение той же ориентации, умноженное на какое-либо число. Тогда по свойству VIII детерминант делается равным сумме двух косигнатурных детерминантов. Один из них есть данный детерминант, а другой содержит два пропорциональных сечения ориентации (i1) и согласно свойству VII будет равен нулю, если ориентация (i1) — альтернативная. Последнего за­ключения, однако, нельзя сделать в силу того же свойства VII, если ориентация (i1) — неальтернативная.

Следствие. Гипердетерминант не меняется, если к одному из его сечений (простых) какой-нибудь ориентации прибавляется другое сечение той же ориентации, умноженное на какое-либо число.

24. 3. Разложение детерминантов пространственной матрицы

1. Вычисление детерминантов пространственной матрицы, если не­посредственно применять их определение, становится по мере возрастания порядка матрицы все более и более громоздким. Существуют более простые методы вычисления многомерных детерминантов, основанные на выражении их через детерминанты низшего числа измерений или через детерминанты низшего порядка. Рассмотрим сперва случай понижения числа измерений многомерных детерминантов, в первую очередь кубических. Возьмем в кубической матрице п-го порядка

одно из п! двумерных трансверсальных сечений, соответствующих направ­лению (k):

(3.1)

где

(3.2)

— некоторая перестановка из чисел 1, 2, ..., п. В элементах квадратной матрицы п-го порядка (3.1) каждую пару первых двух индексов будем рассматривать как один двукратный индекс Обозначая детерминант этой матрицы через имеем:

(3.3)

где

(3.4)

— некоторая перестановка из чисел 1, 2, ..., п, а —число инверсий в ней, и суммирование распространено на все п! перестановок (3.4). Со­ставляя детерминанты вида (3.3) для всех п! перестановок (3.2) и беря их сумму, цолучим согласно определению детерминант

матрицы А.

Таким образом, имеем разложение кубического детерминанта п-го порядка на сумму п! обычных детерминантов, порождаемых матрицами вида (3.1):

(3.5)

Точно так же, беря в матрице А одно из п! двумерных трансверсаль­ных сечений, соответствующих направлению (j):

(3.6)

п рассматривая в элементах квадратной матрицы n-го порядка (3.6) каж­дую пару крайних индексовкак один двукратный индекс составим детерминант этой матрицы

(3.7)

где

(3.8)

— некоторая перестановка из чисел а Ij — число инверсий в ней, и суммирование распространено на все n! перестановок (3.8). Сумма n! детерминантов вида (3.7), соответствующих всем перестановкам (3.2), снова дает детерминант

матрицы А. Таким образом, имеем другое разложение кубического детерминанта n-го порядка

на сумму п! обычных детерминантов, порождаемых матрицами вида (3.6):

(3.9)

Возьмем, наконец, в матрице А одно из п! двумерных трансверсальных сечений, соответствующих направлению (i):