Дискретно-непрерывная математика (стр. 26 )

Дать прямое доказательство этого неравенства. Указание. Пока­зать, что функция возрастает при

9. Пусть —заданные положительные числа. С помощью неравенства Канторовича (21.4.42) доказать, что

если числанеотрицательны и их сумма равна 1.

10. Доказать следующее обобщение неравенства Канторо­вича (21.4.42) (Грэйб, Рейнболдт): пусть —коммути­рующие положительно определенные матрицы с собственными значениями соответственно и

Тогда

для всехУказание. Для матриц В и С можно найти унитарную матрицу такую, что и ( где ).

Переписать доказываемое неравенство, вводя вначале вектор а затем вектор Далее, применяя теорему

21.4.41, показать, что требуемое неравенство выполняется (и до­стижимо) с константой вида

при некотором выборе индексов Показать, что

наименьшая из таких констант соответствует выбору j = 1, k = п. Это последнее неравенство может, однако, уже не быть достижимым. (То есть неравенство при).

11. Показать по контрасту с неравенством Канторовича (21.4.42), что для положительно определенной матрицы справедливо неравенство

при любом вектореБолее общо, доказать, что при любых

если матрица положительно определена. Для вектора

здесь достигается равенство. Сделать окончательный вывод о том, что для любого одновременно выполняются

неравенства

Указание, С помощью неравенства Коши — Шварца показать, что

если всеи использовать представление

12. Пусть - положительно определенная матрица, а — произвольный ненулевой вектор. Определим функцию

Показать, что функцияопределена корректно; используя

задачу 11, получить соотношение Показать, что f обладает свойством супераддитивности

для любых положительно определенных матриц,и

всякого ненулевого вектора Беря в качестве у i-й вектор естественного базиса, вывести неравенство Бергстрёма

в котором А, В — произвольные положительно определенные матрицы, а обозначает главную подматрицу, получаемую из А удалением i-й строки и i -го столбца (аналогичный смысл имеет символ Вi). Этот подход к доказательству неравен­ства Бергстрёма может служить примером применения очень полезной техники, называемой квазилинеаризацией: нелинейная функция интересующего нас аргумента представляется как экстремальное значение (при возможном наличии ограничений) другой функции, которая от того же аргумента зависит линейно (или, может быть, только аддитивно). В теореме 21.4.24 крити­ческий шаг (доказательство того, что квазинорма на Мт, п, опре­деляемая симметричной калибровочной функцией от сингуляр­ных чисел, в действительности является нормой) был выпол­нен посредством квазилинеаризации (см. (19.4.12)).

13. Если z — комплексное число, то для любого веществен­ного х выполняется неравенство Правдо­подобное обобщение этого неравенства на квадратные матрицы имеет вид

где —произвольная эрмитова матрица. Доказать, что такое обобщение действительно справедливо для всякой унитарно инвариантной и даже, более общо, всякой самосопряжен­ной нормы Вывести отсюда, что расстояние (в смысле нор­мы от заданной матрицы до замкнутого множества эрмитовых матриц из Мп равно

Указание.

А поэтому

14. Для любого комплексного числа z выполняется неравен­ство Доказать, что его тривиальное обобщение

справедливо для всехи всякой унитарно инвариантной (даже просто самосопряженной) нормы

15. Пусть А — заданная матрица из Мп с упорядоченными сингулярными числами и пусть

суть упорядоченные собственные значения матрицы Объяснить, почему неравенства

можно интерпретировать как обобщение неравенства для комплексных чисел. Обобщение утверждает: k-e по порядку сингулярное число матрицы А не меньше, чем k-e по порядку собственное значение матрицы Указание. Если у — вектор единичной евклидовой длины, то

Представляя с помощью теоремы Куранта — Фишера, использовать данное неравенство, а также теорему 21.3.10, чтобы прийти к σk.

16. Пусть задана матрица , и пусть —унитарно инвариантная норма на Мп. Посредством теоремы 21.4.51 пока­зать, чтодля всякой унитарной матрицы и что это неравенство достижимо. Сделать отсюда вы­вод о том, что есть расстояние (в смысле нормы от А до компактного множества унитарных матриц из Мп.