Дискретно-непрерывная математика (стр. 92 )

индексов j, k, подвергнем невырожденным линейным преобразованиям

с квадратными матрицами

то придем к линейно-квадратичной форме

c кубической матрицей симметрической относительно тех же индексов j, k. Матрицу В' можно определять также равен­ством

или рассматривать как результат конечного числа элементарных преобразо­ваний по индексу i и симметрических элементарных преобразований по индексам j, k, произведенных в некоторой последовательности над матрицей А'.

Аналогичные результаты получим для линейно-квадратичных форм

с кубическими матрицами, симметрическими относительно индексов i, k и i, j.

Как и в случае трилинейных форм, две линейно-квадратичные формы над полем Р называются эквивалентными в этом поле, если от одной из них можно перейти к другой при помощи невырожденных линейных преобразований с коэффициентами поля Р. Соответственно этому две кубические матрицы над полем Р, симметри­ческие относительно одной и той же пары индексов, называются эквивалент­ными в этом поле, если от одной из них можно перейти к другой при помощи конечного числа симметрических элементарных преобразований по индексам этой пары и элементарных преобразований по третьему индексу.

Если две линейно-квадратичные формы F', Ф' (или их матрицы А', В') эквивалентны в поле Р, то каждая из линейно-квадратичных форм F', F", F'" (или их матриц где — транспонированные матрицы относительно А' соответственно циклическим подстановкам будет g-эквивалентной форме Ф' (или матрице В').

Таким образом, эквивалентные линейно-квадратичные формы (или их матрицы) будут также g-эквивалентными.

4. Возьмем теперь представляемое формулой (3.14) произведение кубической матрицы n-го порядка А на невырожденную квадрат­ную матрицу а того же порядка. Принимая во внимание разложение (4.1), можем представить это произведение в виде

Полагая

(4.4)

будем, таким образом, иметь:

Каждой из операций (4.4) равносильна одна из следующих операций, которые назовем симметрическими элементарными преобразованиями матрицы А:

(а) умножение l- го сечения каждой ориентации на одно и то же произвольное, отличное от нуля число t из поля Р;

(б) прибавление к т-му сечению каждой ориентации умноженного на t l-го сечения соответствующей ориентации (l, т — любые из значе­ний 1, 2, . .. , п).

Эти операции в дальнейшем будем обозначать символами

Замечание 4.5. Симметрическими элементарными преобразованиями типов (а), (б) можно совершить над матрицей А операцию

заключающуюся в перестановке l-го и т-го сечений каждой ориентации (упражнение 2).

Таким образом, подвергая трилинейную форму F с кубической мат­рицей А невырожденным линейным преобразованиям по всем трем рядам переменных с одной и той же квадратной матрицей а, мы получим трили­нейную форму Ψ, матрица которой С может быть определена также последовательным умножением по всем индексам матрицы А на а или рав­носильной операцией — симметрическими элементарными преобразованиями матрицы А, повторенными конечное число раз.

Точно так же, подвергая кубическую форму с симметрической кубической матрицей невырожденному линейному преобразованию

с квадратной матрицей мы придем к кубической форме с симметрической кубической матрицей которая может быть получена также последовательным умножением по всем индексам матрицы А на а или равносильной операцией — симметрическими элементарными преобразо­ваниями матрицы А, повторенными конечное число раз. Две кубические формы над полем Р называются эквивалентными в этом ноле, если от одной из них можно перейти к другой при помощи невырожденного линейного преобразования с коэффициентами из поля Р.

Соответственно этому две симметрические кубические матрицы над полем Р называются эквивалентными в этом поле, если от одной из них можно перейти к другой при помощи конечного числа симметрических элементарных преобразований или, что то же самое, посредством умножения по всем индексам на невырожденную квадратную матрицу с элементами из поля Р.

Замечание 4.6. Данные выше определения симметрических элемен­тарных преобразований по двум или всем трем индексам кубической матрицы, а также определения эквивалентности двух кубических матриц, симметрических относительно двух или всех трех индексов, очевидным образом распространяются на пространственные матрицы любого числа измерений.

5. В заключение рассмотрим элементарные преобразования полино­миальной пространственной матрицы. Не нарушая общности, мы можем ограничиться случаем полиномиальной кубической матрицы п-го порядка или кубической λ-матрицы, элементами которой являются полиномы от λ с коэффициентами из поля Р.

Элементарными преобразованиями по какому-нибудь индексу, напри­мер но индексу i, матрицы М(λ) называются следующие операции:

(а) умножение l-го сечения ориентации (i) на произвольное, отличное от нуля число t из поля Р;

(б) прибавление к т-му сечению ориентации (i) l-го сечения той же ориентации, умноженного на произвольный полиномс коэффициентами из поля Р (l, т — любые из значений 1, 2, .. . , п).

Замечание 4.7. Элементарными преобразованиями типов (а), (б) можно переставить l-е и т-е сечения ориентации (і) в матрице

Нетрудно убедиться, что элементарные преобразования (а), (б) матрицы равносильны умножению ее по индексу i соответственно на элемен­тарные квадратные матрицы п-го порядка где а'—диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, кроме одного, равного t, а матрица а" имеет все элементы — нули, за исключением диаго­нальных элементов, равных 1, и элемента Очевидно также, что эти преобразования равносильны соответственно линейным преобразованиям

и

трилинейной формы

ассоциированной с матрицей М(λ), причем детерминанты этих преобразований не зависят от λ и отличны от нуля.

Аналогичные замечания имеют место и для элементарных преобразо­ваний по индексу j или k матрицы М (λ).

Таким образом, подвергая трилинейную форму F с матрицей М(λ) линейному преобразованию по какому-либо ряду переменных, например, преобразованию

с матрицей элементы которой являются, вообще говоря, полиномами от λ, а детерминант не зависит от λ и не равен нулю, мы придем к трилинейной форме F', матрица которой будучи равна произведению может быть получена также в результате конечного числа элементарных преобразований по индексу i матрицы