Дискретно-непрерывная математика (стр. 37 )

Можно ли здесь вместо спектральной брать другие матричные нормы?

4. Охарактеризовать случаи равенства в неравенстве из тео­ремы 21.8.6.

5. Пусть матрицы положительно определены. До­казать, что

Показать, что это неравенство усиливает неравенство из тео­ремы 21.8.6. Указание, Показать, что

и применить это соотношение в доказательстве по индукции,

6. Показать, что неравенство предыдущей задачи допускает дальнейшее усиление:

7. Пусть матрица имеет положительно определен­ную эрмитову часть и пусть п > 1. Пока­зать, что неравенству (21.8.7) можно придать более сильную форму

В каком случае достигается равенство?

Указание. Нужнo показать, что

а это эквивалентно неравенству

Показать, что

Можно ли еще усилить это неравенство? Замечание. Естествен­ным прообразом доказываемого неравенства для определителей можно было бы считать следующее неравенство для комплекс­ных чисел: однако это неравенство не­верно (показать!), отсюда условие Таким образом, детермпнантное неравенство следует оценить как довольно не­ожиданное.

8. Пусть матрицы положительно определены. По­казать, что

9. Вывести неравенство Фишера из неравенства Минковского. Указание. Применить неравенство Мннковского к двум положительно определенным матрицам

10. Положительно определенная матрица может быть представлена в виде где L — нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами (см. следствие 21.2.9). Использовать этот факт для доказательства неравенства Фишера.

11. Пусть — положительно полуопределенные матрицы. Показать, что если А и В невырожденны, то матрица также невырожденна (и положительно определена). Если матрица, вырожденна, то хотя бы одна из матриц А, В тоже вырожденна. Как связаны эти утверждения с неравен­ством из § 21.5?

12. Показать, что для матрицы с веществен­ными элементами, удовлетворяющими ограничениямдля любых выполняется неравенство Показать, кроме того, что эта оценка никогда не достигается. Указание.

Здесь —определитель матрицы, получаемой из А удале­нием i-й строки и j-го столбца. Если.то не зави­сит от значения которое поэтому может быть взято равным Если то при определитель как функция от аij не может иметь экстремума. Итак, до­стигает своего максимального значения при указанных ограни­чениях, когда все Матриц порядка 3 с такими зна­чениями элементов лишь конечное число. Каким будет резуль­тат для произвольного п > 3? В случае матрицы А с комп­лексными элементами использовать принцип максимума (тео­рема о максимальном модуле) для аналитических функций, чтобы показать, что не может достигать максимального значения внутри множества все

13. Пусть иC помощью нера­венства Адамара показать, что

14. Пусть матрица положительно определена, и пусть — некоторое множество индексов, а — дополнение множества α в N. Неравенство Фишера можно записать как Его обобщение, часто называемое неравенством Адамара — Фишера, имеет вид

(21.8.9)

Оно выполняется для всякой положительно определенной эрми­товой матрицы А и любых множеств индексов По оп­ределению Доказать неравенство Адамара — Фи­шера, используя только неравенство Фишера и вторую формулу из п. 0.8.4. Указание. Без ограничения общности можно считать, что применить неравенство Фишера к. а затем (0.8.4) к каждому минору.

15. Использовать тот факт, что положительно определенная эрмитова матрица А может быть представлена в виде где L — невырожденная нижняя треугольная матрица (см. следствие 21.2.9), для прямого доказательства неравенства Ада­мара— Фишера (21.8.9). Указание. Не теряя общности, можно считать, что и где Рассмотреть одинаковое блочное 3×3-разбие­ние матриц А и L.

16. Пусть — положительно определенная матрица.

С помощью неравенства Адамара — Фишера показать, что

17. Пусть матрица положительно определена. По­казать, что

Указание. Положить и применить теорему 21.8.1 к матрице

18. Пусть—положительно определенная матрица, и пусть —ортонормнроваиная система. Опи­раясь на задачу 17, показать, что —система соб­ственных векторов, а числа суть соответ­ствующие собственные значения матрицы А, если