Дискретно-непрерывная математика (стр. 80 )

(3.10)

Рассматривая каждую пару последних двух индексов в элементах квадратной матрицы (3.10) как один двукратный индекс составим ее перманент

где суммирование распространено иа все п! перестановок (3.4) или (3.8).

Алгебраическая сумма выражений распространенная на все п! двумерных трансверсальных сечений, соответствующих направле­нию (i), очевидно, дает детерминантИмеем, таким образом, разло­жение кубического детерминанта п-го порядка на алгебраическую сумму перманентов, порождаемых матрицами вида (3.10),

(3.11)

Кубические детерминанты п-го порядка и разлагаются на суммы обычных детерминантов и на алгебраические суммы обычных перманентов по формулам, аналогичным (3.5), (3.9) и (3.11).

Итак, каждый из детерминантов

кубической матрицы п-го порядка А может быть представлен в виде суммы п! обычных детерминантов, порождаемых трансверсальными сечениями, соответствую­щими любому из альтернативных направлений, или в виде алгебраической суммы п! обычных перманентов, порождаемых трансверсальными сечениями, соответствующими неальтернативному направлению.

Перманентматрицы А разлагается на сумму п! обычных перманентов, порождаемых трансверсальными сечениями, соответствующими любому из направлений Имеем, следовательно,

(3.12)

Для детерминантов кубической матрицы 2-го порядка находим соглас­но предыдущим формулам следующие разложения:

2. Обращаясь теперь к р-мерной матрице п-го порядка А, напишем ее в виде

(3.13)

Будем рассматривать какие-нибудь т индексов, например, первые т индек­сов в элементах матрицы (3.13) как один т-кратный индекс и обозначим через

(3.14)

одну из (р—т+1)-мерных матриц п-го порядка, которые предстарляют (п!)т-1 трансверсалыных сечений р — т+1 измерений матрицы (3.13), соот­ветствующих ориентации Каждая из (п!)р-т трансверсалей матрицы (3.14) является также трансверсалыо матрицы (3.13), и трансверсалями (п!)т-1 матриц вида (3.14) исчерпывается совокупность всех трансверсалей матрицы (3.13). Из упомянутых выше т индексов в элементах матрицы (3.13) какие-нибудь индексов, например — будем предполагать неальтернативными, а остальные t (0≤t≤m) индексов jt — альтернативными. Рассмотрим p-мерный детерми­нант п-го порядка

(3.15)

где многоточием в конце заменена остальная часть сигнатуры, относящаяся к индексам Будем различать два случая соответственно четности числа t.

В первом случае, когда t — нечетное, положим в элементах матрицы (3.14) т-кратный индекс

альтернативным по одпому какому-либо из индексов например по индексу it, и составим

(р — т+1)-мерный детерминант n-го порядка

(3.16)

где многоточием в конце заменена остальная часть сигнатуры, ничем не отличающаяся от той части сигнатуры детерминанта (3.15), которая отно­сится к индексам Тогда детерминант (3.15), очевидно, может быть разложен на алгебраическую сумму (n!)m-1 (р — т + 1)-мерных детер­минантов вида (3.16)

(3.17)

где — число инверсий в перестановке образуемой значениями индекса jμ в элементах каждого члена детерминанта (3.16), которые могут быть взяты в такой последовательности, чтобы значения индекса jt шли в натуральном порядке.

Во втором случае, когда t — четное (в частности, 0), положим в эле­ментах матрицы (3.14) m-кратный индекс неальтернатив­ным и составим (р — т +1)-мерный детерминант (в частности, перманент, если все индексы — неальтернативиые) n-го порядка

(3.18)

где, как и в детерминанте (3.16), многоточием в конце заменена остальная часть сигнатуры, тождественная с частью сигнатуры детерминанта (3.15), от­носящейся к индексам Тогда получим разложение детерминанта (3.15) на алгебраическую сумму (n!)m-1 (р — т+1)-мерных детерминантов (в частности, перманентов) вида (3.18)

(3.19)

Последняя формула, если t=0 и все индексы —неальтернативные, дает разложение р-мерного перманента n-го порядкана сумму -мерных перманентов того же порядка:

(3.20)

Повторными разложениями детерминантов (в частности, перманентов), фигурирующих в предыдущих формулах, детерминант р измерений можно представить в виде алгебраической суммы косигнатурных детерминантов меньшего числа измерений q. При этом сигнатура слагаемых детерминан­тов определяется в зависимости от того, каким образом р индексов в дан­ном детерминанте распределены на q групп, представляющих индексы (простые или кратные) в q-мерных детерминантах. Именно, каждый из q индексов будет нeальтернативным, если ои вовсе не содержит альтернатив­ных в данном детерминанте индексов или содержит четное число их (фор­мулы (3.20), (3.19)); если же он содержит нечетное число таких индексов, то он будет альтернативным по одному какому-нибудь из них (формула (3.17)). В частности, каждый многомерный детерминант с той или иной сигнатурой разлагается, притом различными способами, на алгебраическую сумму обычных детерминантов или перманентов. Такое разложение согласно терминологии Раиса называется полным. Оно было отмечено еще Кэли, рассматривавшим многомерные детерминанты как «функции, при­водимые к сумме обычных детерминантов».

Для иллюстрации указанного выше способа понижения числа измерений многомерных детерминантов при их вычислении приведем разложения четы­рехмерного гипердетерминапта 2-го порядка:

3. Пользуясь приведенными в п. 1 разложениями детерминантов куби­ческой матрицы, обладающих той или иной сигнатурой, докажем следующие теоремы, легко обобщающиеся на случай матрицы любого числа измерений (упражнения 4, 5, 7).

Теорема 3.1. Детерминант кубической матрицы п-го порядка у которого все сечения неалътернатисной ориентации одинаковы, равен умноженному па п! обычному детерминанту (или перманенту, если данный детерминант имеет сигнатуру п-го порядка, соответствуюгиему этим одинаковым сечениям.