Дискретно-непрерывная математика (стр. 94 )

(5.4)

будем иметь:

где

Образуем для В v-ю составную матрицу

(5.5)

где

(5.6)

причем значения, пробегаемые индексами являются сочетаниями из n чисел 1, 2, ..., п по v, имеющими в упорядоченном ряду сочетаний соответственно номера

Точно так же v-ми составными матрицами для А и а будут:

(5.7)

где

(5.8)

Составим теперь, принимая во внимание равенства (5.7), произведение

(5.9)

На основании равенств (5.8) получаем:

где—сочетание из п чисел 1, 2, ..., п no v, имеющее номер Λ в упорядоченном ряду сочетаний. Следовательно,

или ввиду равенств (5.4) и (5.6)

(5.10)

Принимая во внимание равенства (5.10) и (5.5), можем представить матрицу (5.9) в виде

А это и доказывает наше утверждение.

3. Пусть—какой-либо из детерминантов p-мерной матрицы п-го по­рядка А. Косигнатурный детерминант матрицы составленной из миноров v-гo порядка детерминанта расположенных по каждому направлению в нормальном порядке, называется v-м составным детерминантом для(Райс).

Например, для детерминанта

кубической матрицы 3-го порядка вторым составным детерминантом будет косигнатурный детерминант где есть кубический детерминант с сигнатурой матрицы являющейся элементом второй составной матрицы для А.

Детерминант получающийся из заменой каждого элемента алгебраическим дополнением его, называется присоединенным детерминантом для(Райс). Нетрудно убедиться, что (упражнение 3).

Так, для присоединенный детерминант

согласно принятым выше обозначениям может быть пред­ставлен в виде

Модуль 25

Индивидуальные тестовые задания

Упражнения к п.25.1

1. Скольким равенствам между элементами двух кубических матриц п-го порядка А и А' равносильно равенство А = А'?

2. Тот же вопрос относительно двух р-мерных матриц п-го порядка.

3. Найти

4. Пусть А — сумма h кубических матриц п-го порядка

(1.3)

Возьмем детерминант |А| матрицы А с той или иной сигнатурой и косигнатурные детерминанты

(1.4)

матриц (1.3). Составим какой-нибудь минор одного из детерминантов (1.4), затем какой-нибудь минор другого из этих детерминантов, лежащий в сечениях, отличающихся своим положением в каждой ориентации от тех сечений, в которых лежит первый минор, и будем продолжать этот процесс составления миноров различных детерминантов (1.4) до тех пор, пока сумма их порядков не сделается равной п. В результате получим смешанную трансверсальную совокупность миноров детерминантов (1.4). Каждый из детерминантов (1.4) относится к числу таких совокупностей.

Доказать, что, беря произведение миноров детерминантов (1.4), образующих неко­торую смешанную трансверсальную совокупность, со знаком того члена детерминанта | А |, который содержит диагональные элементы этих миноров, и составляя алгебраическую сумму таких произведений, распространенную на все смешанные трансверсальные сово­купности миноров детерминантов (1.4), мы получим детерминант | А | (обобщение раз­ложения Альбеджиани обычного детерминанта с многочленными элементами, указанное Райсом).

5. Прибавляя к каждому элементу кубической матрицы n-го порядка А по h — 1 нулей, мы можем рассматривать А как сумму h кубических матриц, каждая из которых содержит, кроме нулей, также минорную матрицу относительно А. Применяя результат упражнения 4, указать разложение любого из детерминантов матрицы А.

6. Распространить упражнения 4 и 5 на матрицы любого числа измерений.

7. Показать, что любой из детерминантов матрицы В, представляющей произведение р-мерной матрицы п-гo порядка А на число t, равен косигнатурному детерминанту мат­рицы А, умноженному на tп.

Упражнения к п.25.2

1. Трилинейная форма

подвергается линейному преобразованию Найти матрицу преобразованной формы, вычисляя произведение по индексу j матрицы трилинейной формы на матрицу линейного преобразования.

2. Билинейная форма

подвергается билинейному преобразованию

Найти матрицу преобразованной формы, вычисляя произведение по индексу j матрицы билинейной формы на матрицу билинейного преобразования. Сравнить с результатом упражнения 1.

3. Показать, что от умиожония по индексу v (v—любой из индексов кубической матрицы на диагональную квадратную матрицу

первое сечение ориентации (v) в матрице А умпожается на а11, второе на a22 и т. д. Отметить случай, когда а — единичная матрица.

4. Показать, что произведение по индексу v (v—любой из индексов диагональной кубической матрицы п-го порядка на квадратную матрицу того же порядка равно кубической матрице п-го порядка, у которой все элементы — нули, кроме элементов главного диагонального сечения, соответствующего направлению (v) и представляющего обычную матрицу, получающуюся из матрицы а умножением 1-й строки на А111, 2-й —на А222 и т. д. Отметить случай, когда диаго­нальные элементы матрицы А равны 1.

5. Даны матрицы

Показать, что

т. е. произведение по индексу матрицы А на а являотся р-мерной матрицей п-го порядка, у которой μ-й элемент любой строки направления есть произведение соответствующей строки матрицы А на μ-й столбец матрицы а.