Дискретно-непрерывная математика (стр. 29 )

Приведем в заключение еще одно легко доказываемое след­ствие теоремы о произведении Шура. Если —по­ложительно полуопределениая матрица, то матрица также положительно полуопределена. По индукции можно по­казать, что положительно полуопределены все натуральные адамаровы степени Поскольку любая неотрица­тельная линейная комбинация положительно полуопределенных матриц сама положительно полуопределена (см. утверждение 21.1.3), то матрица

положительно полуопределена, если все здесь

— многочлен с неотрицательными ко­эффициентами. Более общо, если в разложении аналитической функции в степенной ряд

с радиусом сходимости R > 0 все коэффициенты ак неотрица­тельны, то простым рассуждением, основанным на предельном переходе, устанавливается положительная полуопределенность матрицы в случае, когда все по модулю меньше R. Вероятно, простейшим примером является функция представляющий ее степенной ряд сходится для всех и все коэффициенты положительны. Согласно доказанному, матрица положительно полуопределена, если положительно полуопределена матрица Этот результат можно усилить; существуют более слабые условия на А, обеспечивающие положительную полуопределенность поэлемент­ной экспоненты от А.

21.5.9. Следствие. Пусть матрица положительно

полуопределена. Тогда

(a) матрица положительно полуопределена для всех k= 1,2, ....

(b) если функция аналитична в круге и все коэффициенты разложения неотрица­тельны, то матрицаположительно полуопределена, если R для всех i, j.

21.6. Конгруэнтность: произведения и одновременная диагнолизация

В отличие от умножения положительных чисел обычное мат­ричное умножение не всегда сохраняет положительную опреде­ленность. Произведение двух эрмитовых матриц может даже не быть эрмитовым (эрмитовость сохраняется тогда и только тогда, когда сомножители коммутируют), и квадратичная форма, по­рождаемая произведением, может не быть неотрицательной. В данном параграфе главный упор сделан на положительно оп­ределенные матрицы; более общие результаты об эрмитовых матрицах указаны в 18.5.

21.6.1. Пример. Матрицы положи­тельно определены. Однако так что матрица АВ несимметрична, и ее эрмитова часть незнакоопределена.

И все же по меньшей мере одно свойство положительности сохраняется обычным произведением положительно определен­ных матриц. Следующее обсуждение продемонстрирует некото­рые полезные приемы работы с произведениями и суммами матриц.

21.6.2. Определение (повторное). Матрицы. назы­ваются эрмитово конгруэнтными, если для некото­рой невырожденной матрицы

Заметим, что, как и подобие, эрмитова конгруэнтность яв­ляется отношением эквивалентности. Чтобы отличать ее от ве­щественной конгруэнтности, иногда в комплексном случае ис­пользуют термин «конъюнктивность».

21.6.3.Теорема. Произведение положительно определенной матрицы и эрмитовой матрицы есть диагонали-зуемая матрица, все собственные значения которой вещественны. Матрица АВ имеет такое же число положительных, отрицатель­ных и нулевых собственных значений, как и матрица В. Об­ратно, всякая диагонализуемая матрица с вещественными соб­ственными значениями может быть представлена в виде произ­ведения положительно определенной и эрмитовой матриц.

Доказательство. Для первого утверждения теоремы восполь­зуемся равенством матрица в правой. части подобна матрице АВ и, следовательно, имеет те же собственные значения. Поскольку —эрмитова матрица, то мат­рицы и В эрмитово конгруэнтны. Согласно закону инерции (закону Сильвестра 18.5.8), собственные значения мат­рицы В имеют те же знаки, что и собственные значения мат­рицы т. е. собственные значения матрицы АВ. Кроме того, матрица эрмитова, а потому диагонализуема, но тогда и АВ должна быть диагонализуемой. Переходя к послед­нему утверждению, предположим, что матрица диаго­нализуема и имеет только вещественные собственные значения: где D — вещественная диагональная матрица. Тогда здесь матрица положительно определена, а матрица эрмитова.

Одновременная диагонализуемость двух наугад выбранных матриц посредством преобразования подобия —редкое событие, требующее для своей реализации сильного свойства коммута­тивности. Но для диагонализуемости двух эрмитовых матриц одним и тем же преобразованием эрмитовой конгруэнтности нужно гораздо меньше. Одновременная диагонализуемость по­средством преобразования эрмитовой конгруэнтности соответ­ствует преобразованию двух эрмитовых квадратичных форм в линейную комбинацию квадратов посредством одной и той же линейной замены переменных. Приведем классический резуль­тат на эту тему; относительно его обобщения см. теорему 18.5.15.

21.6.4. Теорема. Пусть — эрмитовы матрицы, и

пусть существует их вещественная линейная комбинация, являю­щаяся положительно определенной матрицей. Тогда найдется невырожденная матрица такая, что обе матрицы и диагональны.

Доказательство. Предположим, что матрица положительно определена для некоторых Хотя бы одно из чиселдолжно быть ненулевым; предположим, например, что Так как в этом случае то, доказав одновременную диагонализуемость посредством преоб­разования эрмитовой конгруэнтности матриц А и Р, мы устано­вим тем самым одновременную диагонализуемость А и В. Со­гласно теореме 21.2.7, Р эрмитово конгруэнтна единичной мат­рице, т. е. для некоторой невырожденной матрицы Поскольку матрица эрмитова, найдется уни­тарная матрица U, такая, что — диагональная матрица. Полагая получаем следовательно, —также диагональная матрица.