Дискретно-непрерывная математика (стр. 74 )

В кубической матрице п-го порядка два сечения различных ориентаций имеют п общих элементов, расположенных в одной строке, тогда как три сечения различных ориентаций имеют только один общий элемент. Каждое сечение любой ориентации и каждая строка перпендикулярного к этому сече­нию направления имеют один и только один общий элемент. Соответствен­ными элементами двух параллельных сечений называются элементы, принад­лежащие одной и той же строке, перпендикулярной к этим сечениям. Соответственными элементами двух параллельных строк называются эле­менты, принадлежащие одному и тому же сечению, перпендикулярному к этим строкам.

Все эти понятия, относящиеся к кубической матрице, легко распростра­нить на пространственную матрицу любого числа измерений.

Так, в пространственной матрице (1.3) совокупность элементов с фикси­рованным значением индекса где α — любое из чисел обра­зует сечение (простое) ориентации являющееся (р — 1)-мерной матрицей п-го порядка

Совокупность элементов с фиксированными значениями индексов и где — любые из чисел 1,2, ...,р, образует сечение (двукратное) ориентации являющееся (р— 2)-мерной матрицей п-го порядка

и представляющее совокупность элементов, общих двум (р— 1)-мерным сече­ниям ориентации

Вообще, совокупность элементов с фиксированными значениями индексов где а любые из чисел 1,2, ...,р, образует сечение (m-кратное) ориентации являющееся (р—т)-мерной матрицей п-го порядка и пред­ставляющее совокупность элементов, общих т сечениям ориентации ), при m = р — 1 имеем сечение ((р — 1)-кратное) ориентации которое является одномерной матрицей п-го порядка, состоя­щей из элементов, общих р—1 сечениям ориентации и которое поэтому называется также строкой направления В обычной двумерной матрицестроки и столбцы можно рассматривать как сечения ориентации (i) и (j) или как строки направлений (j) и (i). Пусть

— некоторая перестановка из чисел 1, 2.....р. Называя тогда ориентации и m-кратного и (р — т)-кратного сечений матрицы (1.3) противоположными, будем подразумевать под соответственными элементами двух m-кратных сечений одной и той же ориентации те элементы, которые принадлежат одному и тому же (р—т)-кратному сече­нию противоположной ориентации В частности, соответствен­ными элементами двух сечений ориентации где α —любое из чисел 1, 2, . . .,р, будут элементы, принадлежащие одной и той же строке направле­ния а соответственными элементами двух строк направления будут эле­менты, принадлежащие одному и тому же сечению ориентации

Два сечения (простые или кратные) одной и той же ориентации называ­ются пропорциональными, если элементы одного из них отличаются от соот­ветственных элементов другого одним и тем же множителем, и тождествен­ными, если соответственные элементы их равны.

Пользуясь двумерными сечениями, можно записать пространственную матрицу в виде квадратной или прямоугольной таблицы в зависимости от того, будет ли число измерений матрицы четным или нечетным; двумерные сечения при этом отделяются друг от друга вертикальной или горизонтальной чертой. Так, например, кубическая матрица 2-го порядка (1.1) с помощью сечений ориентации (і) может быть записана в виде прямоугольника

(1.1')

а матрица (1.3) при р = 4 и п=2 с помощью сечений ориентации — в виде квадрата

(1.4)

Стрелки указывают направление, в котором возрастают соответствующие индексы.

3. Элементы пространственной матрицы А, взятые в количестве, не пре­вышающем ее порядка п, называются, согласно терминологии Сютса, трансверсальными, если ни одна пара их не принадлежит одному и тому же сечению (простому) какой-либо ориентации. Совокупность п трансверсальных элементов матрицы А, представленная в виде одномерной матрицы п-го порядка, образует трансверсалъ. Так, например, в кубической матрице 3-го порядка (рис. 2) совокупность элементов А112, А231, А323 образует одну из ее трансверсалей, число которых равно (3!)2.

(1.5)

Рис. 2.

В кубической матрице n-го порядка насчитывается (п!)2 трансверсалей. Число трансверсалей р-мерной матрицы п-го порядка равно (п!)р-1. Среди них находятся 2р-1 диагоналей, образованных элементами, которые расположены на прямых, соединяющих противоположные вершины матрицы. Та из диагоналей, у которой в каждом элементе значения всех индексов одинаковы, называется главной, а ее первый элемент А11…1 — главным. Остальные диагонали называются побочными. В матрице (1.5) имеем четыре диагонали

Из них первая есть главная диагональ с главным элементом А111.

4. Обобщением понятия трансверсали пространственной матрицы п-го порядка А является понятие трансверсального сечения.

Будем называть строки данного направления в матрице А, взятые в ко­личестве, не превышающем ее порядка п, трансверсальными, если ни одна па­ра их не принадлежит одному и тому же сечению (простому) какой-либо ориен­тации. Совокупность п трансверсальных строк какого-либо направления, пред­ставленная в виде двумерной матрицы п-го порядка, будет двумерным трансверсальным сечением, соответствующим этому направлению. Так, например, в кубической матрице 3-го порядка (1.5) имеем двумерные трансверсальные сечения, образуемые трансверсальными строками:

Всех таких сечений, соответствующих одному какому-либо из направлений в матрице (1.5) будет 3!

В кубической матрице п-го порядка число двумерных трансверсальных сечений, соответствующих данному направленпю, равно п!.

Среди них находятся два диагональных сечения. То из диагональных се­чений, которое состоит из элементов с одинаковыми значениями двух опреде­ленных индексов, называется главным, а другое—побочным. Так, в матрице (1.5) имеем два двумерных диагональных сечения, соответствующих направ­лению (i):

В р-мерной матрице п-го порядка (1.3) число двумерных трансверсальных сечений, соответствующих направлению очевидно, равно (п!)р-2. Среди них находятся 2р-2 двумерных диагональных сечений. Одно из них, главное, состоит из элементов с одинаковыми значениями р — 1 индексов Остальные диагональные сечения — побочные. При р>3, кроме двумерных трансверсальных сечений, имеются также трансверсальные сечения высших измерений. Будем называть т-кратные сечения данной ориентации взятые в количестве, не превышающем п, трансверсалъными, если ни одна пара их не принадлежит одному и тому же сечению (простому) какой-либо ориентации. Совокупность п трансверсальных сечений ориентации являющихся (р—т)-мерными матрицами